河南省平顶山市叶县高级中学2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年河南省平顶山市叶县高级中学高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆：的圆心与半径分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.两平行直线：和：之间的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知点，，，且四边形是平行四边形，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.经过直线：和：的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
6.直线关于直线对称的直线方程为( )
A. B. C. D.
7.在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则下列向量中与共面的向量是( )
A. B. C. D.
10.已知动点，分别在直线：与：上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为( )
A. B. C. D.
11.如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为的菱形，，为对角线，的交点，为的中点则下列说法正确的是( )
A.
B. 三棱锥的外接球的半径为
C. 当异面直线和所成的角为时，
D. 点到平面与到平面的距离相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是______．
13.已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围为______，直线的斜率的取值范围为______．
14.如图，在三棱柱中，，为的中点，为的中点，和相交于点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知三个顶点的坐标分别是，，．
求的面积．
求外接圆的方程．
16.本小题分
在中，顶点在直线上，顶点的坐标为，边的中线所在的直线方程为，边的垂直平分线的斜率为．
求直线的方程；
若直线过点，且点、点到直线的距离相等，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在长方体中，，，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知直线：与轴，轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点．
求的最小值；
求的最小值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，为的中点．
证明：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因为，，，
所以，，
，
可得，即该三角形为等腰直角三角形，
所以；
设的外接圆的方程为，
所以，解得，，，
所以的外接圆的方程为：．
16.解：由边的垂直平分线的斜率为，得直线方程为，即，
而边中线所在的直线方程为，
由，解得，则，设点，则点，
于是，解得，即点，直线的斜率，
所以直线的方程为，即．
由知，，，
由直线过点，且点、点到直线的距离相等，得直线过边的中点，或，
当直线过时，直线的斜率为，方程为，即，
当直线时，直线的斜率为，方程为，即，
所以直线的方程为或．
17.解：证明：在长方体中，建系如图：
则，，，，
，，，
，，，
，，
，，又，，平面，
平面；
设平面的法向量为，又，，
则，取，又，
直线与平面所成的角的正弦值为：
，．
18.解：由：整理得，，
令，解得，即直线经过定点．
不妨设直线的方程为，则有，
由和基本不等式可得，，解得，
当且仅当时，即，时，等号成立，
故当，时，的最小值为；
因，由得，，
则，当且仅当时，等号成立，
故当时，取得最小值．
19.解：证明：如图，连接，，两线交于点，
因为，，则，，
在中，设，
由余弦定理，，
解得，则，
由题意知：，，共线且，取线段的三等分点靠近点，
连接，，则点是的中点，因为的中点，故有，
又平面，平面，
故E平面，
因为，且，易知为菱形，故得，
又平面，平面，
故B平面，
由，，因为，，平面，
故平面平面，
因平面，则平面．
如图，分别以，过点竖直向上的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设与轴成角，因，则且，
又，故即二面角的平面角，则，
于是，又，，，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
可取；
又，
设平面的一个法向量为，
则，
可取．
设平面与平面的夹角为，
则，
设，因为，则，
，
设，则
，
记，
因为函数在上单调递增，
故，
则，
故，
即平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为．
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