陕西省西安八十五中2024-2025学年高二（上）第一次月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年陕西省西安八十五中高二（上）第一次月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数为虚数单位，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是( )
A. 或 B. 或 C. D.
4.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.已知内角，，所对边的长分别为，，，，则形状一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
7.已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
8.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是( )
A. 与是共线向量
B. 与同向的单位向量是
C. 和夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是
10.下面四个结论正确的是( )
A. 已知向量，，则在上的投影向量为
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D. 若，则是锐角
11.如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的有( )
A. 平面
B. 异面直线与所成角的大小是
C. 球的表面积是
D. 点到平面的距离是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则在上的投影向量为______．
13.已知向量，，若，则实数的值为 ．
14.已知中，角，，所对的边分别为，，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，．
试用向量，，表示向量；
若，，求的值．
16.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求角的大小；
若，，求的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，，．
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值；
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，，求的值；
设是边上一点，为角平分线且，求的值．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，为棱的中点，，，．
求证：平面；
求证：平面；
在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，所以，
，
点为的中点，．
，由得
．
16.解：在中，，
由正弦定理得，，
又，，
，，，
，；
在中，，，，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，解得负值舍去，
的面积为．
17.证明：因为平面平面，平面平面，
且，平面，可得平面，
因为平面，
所以；
解：取中点，连接，，
因为，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
可得平面，
由，平面，可得，，
因为，，，则，，
可知四边形是平行四边形，则，
如图，以为坐标原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，可得，
设平面的法向量为，
则，
令，可得；
设平面的法向量为，
则，
令，可得；
所以，，，
所以，．
所以平面与平面夹角的余弦值为；
解：设，
且，则，
若平面，则，可得，方程无解，
所以不存在点，使得平面．
18.解：由题意及正弦定理可得：，
可得，
在中，，所以，
因为，
所以；
因为，，，
由余弦定理得，
所以，即，
所以，，
由正弦定理可得：，
可得，
因为，则，则，
可得，
且，
所以
；
因为，是角平分线，即，
因为，
所以，
由正弦定理可知，
所以，
所以，
整理可得，
即，
又因为，且，
即，
解得．
19.证明：连接与，两线交于点，连接，
在中，分别为，的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
因为底面，平面，所以，
又为棱的中点，，所以，
因为，，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，所以，又，
在和中，，
所以，即，
所以，又，，平面，
所以平面；
解：当点为的中点，即时，平面平面，
证明如下：设的中点为，连接，，
因为，分别为，的中点，
所以且，又为的中点，
所以且，
所以四边形为平行四边形，故B，
由知：平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
第1页，共1页