宁夏石嘴山一中2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年宁夏石嘴山一中高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.与直线平行且过点的直线方程是( )
A. B. C. D.
4.圆的圆心到直线的距离为：( )
A. B. C. D.
5.若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若圆上恰有三点到直线的距离为，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
7.已知点是椭圆：上的动点，过作圆：的两条切线，分别为切点，直线与，轴分别相交于，两点，则为坐标原点的最小面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则
9.下列说法正确的有( )
A. 不等式的解集是
B. “，”是“”成立的充分条件
C. 命题：，，则：，
D. “”是“”的必要条件
10.已知正方形在平面直角坐标系中，且：，则直线的方程可能为( )
A. B. C. D.
11.下列结论正确的是( )
A. 已知点在圆：上，则的最大值是
B. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离
D. 若圆：上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆心在直线上且与轴相切于点的圆的方程为______．
13.若三点，，共线，则的值等于 ．
14.如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若，分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点．
求椭圆的方程；
若直线：与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16.本小题分
已知圆：关于直线对称，且过点．
求证：圆与直线相切；
若直线过点与圆交于、两点，且，求此时直线的方程．
17.本小题分
已知点，圆：，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．
求的轨迹方程；
当时，求的方程及的面积．
18.本小题分
已知四棱锥，，，，，是上一点，．
若是中点，证明：平面．
若平面，求面与面夹角的余弦值．
19.本小题分
为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了两个观测站和点在点、点之间，它们到平台的距离分别为海里和海里，记海平面上到两观测站的距离，之比为的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区如图．
以为坐标原点，海里为单位长度，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
海平面上有巡航观察点可以在过点垂直于的直线上运动．
若为的中点，求的最小值；
过作直线，与曲线相切于点，证明：直线过定点．
参考答案
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15.解：由题知，，
所以椭圆为，
由点在椭圆上得，解得，
故椭圆方程为；
设，，，
由，得，，
所以，
所以，
所以，解得，
所以存在定点，使得为定值．
16.证明：圆：化为标准方程，可得．
因为圆关于直线对称，所以，解得，
由圆：过点，得，解得，所以，
圆方程为：，即，圆心坐标为，半径．
故点到直线的距离，可知圆与直线相切．
解：设圆心到直线的距离为，则，即，解得舍负．
当直线过点，且斜率不存在时，方程为，
直线与圆相交截得的弦长等于，不符合题意；
若直线的斜率存在，设直线方程为，即，
所以点到直线的距离，整理得，解得或．
所以直线的方程为或，即或．
综上所述，直线的方程为或．
17.解：由圆：，得，
圆的圆心坐标为，半径为．
设，则，．
由题意可得：．
即．
整理得：．
的轨迹方程是．
由知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
由于，
故在线段的垂直平分线上，
又在圆上，从而．
，直线的斜率为．
直线的方程为，即．
则到直线的距离为．
又到的距离为，
．
．
18.证明：如图，设为的中点，连接，，
因为是中点，所以，且，
因为，，，，
所以四边形为平行四边形，，且，
所以，且，
即四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
解：因为平面，
所以平面，，，相互垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设平面与平面夹角为，
则．
19.解：设，则由题意，，
根据题意可知，
，
，
故曲线的方程为：；
直线的方程为，
若为的中点，
则，
，
当，，三点共线且，重合时，的最小值为；
极点关于圆的极线为，即，，
由此猜想：直线过定点，
证明如下：
设，，，
切线为，
，，
同理可得，，
则直线的方程为，
过定点．
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