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专题23 四边形综合压轴题
1．（2024 盐城）如图1，、、、分别是各边的中点，连接、交于点，连接、交于点，将四边形称为的“中顶点四边形”．
（1）求证：中顶点四边形为平行四边形；
（2）①如图2，连接、交于点，可得、两点都在上，当满足 时，中顶点四边形是菱形；
②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
2．（2024 青岛）如图①，△中，，，，△中，，，边与重合，且顶点与边上的定点重合．如图②，△从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．与交于点，连接，．设运动时间为．解答下列问题：
（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（3）如图③，过点作，交于点，△与△关于直线对称，连接．是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
3．（2024 深圳）【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”．
如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点．
【应用】
（1）如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则 ； ；
（2）如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，在△中，于点，，．
①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；
（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母）
②将△沿翻折得到△，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长．
4．（2024 长春）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）的大小为 度，线段长度的最小值为 ．
【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为 米．
5．（2024 遂宁）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段、、、；
③顺次连结所得的四点得到四边形．
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是： ．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形是平行四边形，．
求证：四边形是矩形．
6．（2024 无锡）【操作观察】
如图，在四边形纸片中，，，，，．
折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与，分别交于点，．
【解决问题】
（1）当点与点重合时，求的长；
（2）设直线与直线相交于点，当时，求的长．
7．（2024 巴中）综合与实践
（1）操作与发现平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，、是、边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则 ．
（2）探究与证明探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，、、、是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形．
①通过操作得出：与的比值为 ．
②证明：四边形为平行四边形．
（3）实践与应用任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．
8．（2024 兰州）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明；
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值．
9．（2024 甘孜州）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
（1）求证：；
（2）若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
10．（2024 通辽）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接，并延长，延长线相交于点，交于点．
问题1 和的数量关系是 ，位置关系是 ．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接，点是的中点，连接，．求证．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度．
11．（2024 青海）综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
如图1，在四边形中，、、、分别是各边的中点．
求证：中点四边形是平行四边形．
证明：、、、分别是、、、的中点，
、分别是△和△的中位线，
，①_____）．
．
同理可得：．
中点四边形是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据① ．
【探究二】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
②
（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是② ．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
原四边形对角线关系 中点四边形形状
③ ④
结论：原四边形对角线③ 时，中点四边形是④ ．
12．（2024 长春）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．
（1）当点是边的中点时，求的长；
（2）当时，点到直线的距离为 ；
（3）连结，当时，求正方形的边长；
（4）若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为 （写出一个即可）
13．（2024 泰安）综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结．与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和．将纸片展平，连结，，．同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分割点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
14．（2024 吉林）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：
【探究论证】
（1）如图①，在中，，，垂足为点．若，，则 ．
（2）如图②，在菱形中，，，则 ．
（3）如图③，在四边形中，，垂足为点．
若，，则 ；
若，，猜想与，的关系，并证明你的猜想．
【理解运用】
如图④，在中，，，，点为边上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图；
（ⅰ）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；
（ⅱ）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；
（ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，在同侧；
（ⅳ）过点画射线，在射线上截取，连接，，．
请你直接写出的值．
15．（2024 包头）如图，在中，为锐角，点在边上，连接，，且．
（1）如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与，相交于点，．
①求证：是的中点；
②求；
（2）如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接，的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论．
16．（2024 河北）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段的长；
（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．
探究 淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段的位置，并直接写出的长．
17．（2024 湖北）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：，与墙平行的一边长为（单位：，面积为（单位：．
（1）直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写的取值范围）；
（2）矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由；
（3）当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？
18．（2024 河南）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有
（填序号）．
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求的长（用含，，的式子表示）．
（3）拓展应用
如图3，在△中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．
19．（2024 天津）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，在第一象限，且，．
（Ⅰ）填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（Ⅱ）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设．
①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
20．（2024 乐山）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点逆时针旋转得到，连结． 由旋转的特征得，，，． ，， ． ， ，即． ． 在和△中， ，，， ①_____． ． 又， 在中，②_____． ，， ③_____．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填： ；“②”处应填： ；“③”处应填： ．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系： （直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在中，，，，点、在边上，且．设，，求与的函数关系式．
最后，刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．
21．（2024 山西）综合与探究
问题情境：如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图1中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．
①如图2，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积．
22．（2024 威海）如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接，．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为 ，点的运动时间为秒．
（1）求证：；
（2）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）求为何值时，线段的长度最短．
23．（2024 福建）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中，恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ．
（3）今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示：
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒．如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
24．（2024 扬州）如图，点、、、、依次在直线上，点、固定不动，且，分别以、为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．
（1）如图1，若，，求点与点之间的距离；
（2）如图1，若，当点在点、之间运动时，求的最大值；
（3）如图2，若，当点在点、之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接、，则的最小值为 ．
25．（2024 眉山）综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中：
（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为 ；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为 ．
（2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为 ．
类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明．
拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积．
（参考数据：，，
26．（2024 甘肃）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点在对角线上，点在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
27．（2024 江西）追本溯源
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在中，平分，交于点，过点作的平行线，交于点，请判断的形状，并说明理由．
方法应用
（2）如图2，在中，平分，交边于点，过点作交的延长线于点，交于点．
①图中一定是等腰三角形的有 ．
个
个
个
个
②已知，，求的长．
28．（2024 达州）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．
（1）四边形是菱形，
，，．
又，，
．
化简整理得 ．
类比探究
（2）如图2，若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．
拓展应用
（3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度．
29．（2024 山东）一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1．
（1）求证：；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点．
①当时，如图3，求证：四边形为正方形；
②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系．
30．（2024 徐州）已知：如图，四边形为正方形，点在的延长线上，连接、．（1）求证：△△；
（2）若，求证：．
31．（2024 云南）如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长．
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专题23 四边形综合压轴题
1．（2024 盐城）如图1，、、、分别是各边的中点，连接、交于点，连接、交于点，将四边形称为的“中顶点四边形”．
（1）求证：中顶点四边形为平行四边形；
（2）①如图2，连接、交于点，可得、两点都在上，当满足 时，中顶点四边形是菱形；
②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
【考点】四边形综合题
【解析】（1）证明：，
，，，，
点、、、分别是各边的中点，
，，
四边形为平行四边形，
同理可得：四边形为平行四边形，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：①当平行四边形满足时，中顶点四边形是菱形，
由（1）得四边形是平行四边形，
，
，
中顶点四边形是菱形，
故答案为：；
②如图所示，即为所求，
连接，作直线，交于点，然后作，，然后连接、、、即可，
点和分别为和的重心，符合题意；
证明：矩形，
，，
，，
，
四边形为平行四边形；
分别延长、、、交四边于点、、、如图所示：
矩形，
，，
由作图得，
，
，
点为的中点，
同理得：点为的中点，点为的中点，点为的中点．
2．（2024 青岛）如图①，△中，，，，△中，，，边与重合，且顶点与边上的定点重合．如图②，△从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．与交于点，连接，．设运动时间为．解答下列问题：
（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；
（3）如图③，过点作，交于点，△与△关于直线对称，连接．是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）当点在线段的垂直平分线上，则有，
根据题意可得：，，，
，
点在线段的垂直平分线上，
，即，
解得：，符合题意，
当为2秒时，点在线段的垂直平分线上；
（2）过点作于点，于点，连接，
则，
在△中，，
根据勾股定理得：，
，，
，，
，，即，，
解得：，，
由平移可知，且，
，
，
；
（3）过点作于点，
，
，
△△，
，即，
，，
，
，△与△关于直线对称，
，即，
，
，，
，
，
，
解得，故符合题意，
当为秒时，．
3．（2024 深圳）【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”．
如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点．
【应用】
（1）如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则 1 ； ；
（2）如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，在△中，于点，，．
①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；
（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母）
②将△沿翻折得到△，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）由题可知，，
，
△△，
，
，
，
，
，
；
故答案为：1；；
（2），证明如下：
四边形是平行四边形，
，，，
△△，
，
设，则，
，
，
，
，
，
；
（3）①第一种情况：如图①．
第二种情况：如图②．
第三种情况：如图③．
②若按照上图①作图，即如图④，
由题意可知，，四边形是平行四边形，
，
，
△是等腰三角形；
过作于，则，
，，
，，
，
，
，，
△△，
，
即，
；
若按照上图②作图，即如图⑤，
延长、交于点，
同理可得△是等腰三角形，
连接，
，
△△，
，
，
；
同理△△，
，，，
，
即，
；
若按照上图③作图，则没有交点，不存在（不符合题意），即如图⑥，
故答案为：或．
4．（2024 长春）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：；
（2）的大小为 30 度，线段长度的最小值为 ．
【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为 米．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
又，
．
（2）解：，
，
，
．
四边形是平行四边形，
，
当最小时，也有最小值，
此时．
最小值是．
故答案为：30，．
（3）解：如图过、作、的平行线，则四边形是平行四边形，
，，
，
当时，最小，
，
，
，
在中，，
．
故答案为：．
5．（2024 遂宁）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段、、、；
③顺次连结所得的四点得到四边形．
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形是平行四边形，．
求证：四边形是矩形．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）解：，，
四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
6．（2024 无锡）【操作观察】
如图，在四边形纸片中，，，，，．
折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与，分别交于点，．
【解决问题】
（1）当点与点重合时，求的长；
（2）设直线与直线相交于点，当时，求的长．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）如图1，过点作，
则，，
，
，
，
当点与点重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，与重合，
则有，
设，则，
在中，
解得：，
故；
（2）如图2，当点在上时，如图
由（1）可知，
，
，
设，，则，
根据折叠的性质可得出：，．
，
，
在中，，，
则，
解得：，
；
如图3，当点在的延长线上时，
同上，
在中，
设，，，，
在中，
，，
则，
解得，
则，
综上：的值为：或．
7．（2024 巴中）综合与实践
（1）操作与发现平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，、是、边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则 ．
（2）探究与证明探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，、、、是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形．
①通过操作得出：与的比值为 ．
②证明：四边形为平行四边形．
（3）实践与应用任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）解：如图2，
，
，
由题意得为中点，
，
，
，
故答案为：；
（2）①解：如图5，由操作知，点为中点，将四边形绕点旋转得到四边形，
，，
故答案为：1；
②证明：如图5，
由题意得，、、、是、，，的中点，操作为将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形放在左上方，
则，，，
，，，，
，
，
，
，、三点共线，
同理，，三点共线，
由操作得，，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形；
（3）解：
如图，取、、，为中点为、、、，连接，过点，点分别作，，垂足为点，，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方，使得点与点重合，与重合，与重合，点的对应点为点，则四边形即为所求矩形．
由题意得，，
，，
，
由操作得，，，
，
，
，，三点共线，同理，，三点共线，
，
四边形为矩形，
如图，连接，，，，，
，为，中点，
，，同理，，
，，
，
，
，
，，
，
由操作得，，而，
，
同理，，
，，，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，同理，
四边形能放置左上方，
按照以上操作可以拼成一个矩形．
8．（2024 兰州）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明；
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）证明：为等边三角形，
，，
绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，，
，
；
（2）解：四边形为平行四边形，理由如下：
，，
，
绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
则，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（3）解：如图，过点作，使，连接、，，延长，过点作于点，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的值，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的最小值为．
9．（2024 甘孜州）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
（1）求证：；
（2）若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）证明：，
，
，，
，
；
（2）解：①，理由如下：设，
，
，
，
，
，
；
②，，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
．
10．（2024 通辽）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接，并延长，延长线相交于点，交于点．
问题1 和的数量关系是 ，位置关系是 ．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接，点是的中点，连接，．求证．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）解：四边形是正方形，
，，
是含有的直角三角尺，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，即，
故答案为：，．
（2）是直角三角形，是中点，
，
由（1）知，
是直角三角形，
，
．
（3）由（2）知，，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的弧，
连接，，
旋转角从变化到，
此时点的运动路线就是，
取中点，连接，
，，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
的长度．
即点经过路线的长度为．
11．（2024 青海）综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
如图1，在四边形中，、、、分别是各边的中点．
求证：中点四边形是平行四边形．
证明：、、、分别是、、、的中点，
、分别是△和△的中位线，
，①_____）．
．
同理可得：．
中点四边形是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据① 三角形中位线定理 ．
【探究二】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
②
（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是② ．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
原四边形对角线关系 中点四边形形状
③ ④
结论：原四边形对角线③ 时，中点四边形是④ ．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）解：①三角形中位线定理，
故答案为：三角形中位线定理；
（2）证明：，
，
中点四边形是菱形；
（3）解：②矩形；
故答案为：矩形；
（4）证明：设与交于，与交于，
，分别是△和△的中位线，
，，
四边形是平行四边形，
又，
，
，
中点四边形是矩形；
（5）解：③且；
④正方形；
理由：由（2）知中点四边形是菱形．由（4）知中点四边形是矩形，
中点四边形是正方形．
故答案为：且；正方形．
12．（2024 长春）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧．
（1）当点是边的中点时，求的长；
（2）当时，点到直线的距离为 ；
（3）连结，当时，求正方形的边长；
（4）若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为 （写出一个即可）
【考点】四边形综合题
【解析】（1），是中点，
，
，
，
在中，，
．
（2）如图①，过作于点，作于点，
，，
，
由（1）知，
，
即，
，
点到的距离是．
故答案为：．
（3）当时，如图②，
四边形为正方形，
，，
，
点落在上，
，
设，则．
，，
，
解得：，
即正方形边长为．
（4）①、在同侧时如图③，作，，于点，则，
过作于点，则
，，
，
，
，
，
，
设，，，
，
，
解得：．
②、在两侧时如图④，
同理可得，，
设，，，
，，
解得：．
综上，的值为：或．
故答案为：或．
13．（2024 泰安）综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结．与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和．将纸片展平，连结，，．同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分割点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）正确，理由如下，
作于点，
，
，
．
，
，
又，
．
．
是矩形，，
四边形是矩形．
．
．
（2）同学们的发现说法正确，理由如下，
，
，，
由折叠知，
．
．
，
由平行四边形及折叠知，，
，
即点为的一个黄金分割点．
14．（2024 吉林）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：
【探究论证】
（1）如图①，在中，，，垂足为点．若，，则 2 ．
（2）如图②，在菱形中，，，则 ．
（3）如图③，在四边形中，，垂足为点．
若，，则 ；
若，，猜想与，的关系，并证明你的猜想．
【理解运用】
如图④，在中，，，，点为边上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图；
（ⅰ）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；
（ⅱ）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；
（ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，在同侧；
（ⅳ）过点画射线，在射线上截取，连接，，．
请你直接写出的值．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）在中，，，，
，
，
．
故答案为：2．
（2）在菱形中，，，
，
故答案为：4．
（3），
，，
，
故答案为：．
猜想：，
证明：，，
．
（4）根据尺规作图可知：，
在中，，，，
，
是直角三角形，且，
，
，
，
，
，，
根据（3）中结论得．
15．（2024 包头）如图，在中，为锐角，点在边上，连接，，且．
（1）如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与，相交于点，．
①求证：是的中点；
②求；
（2）如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接，的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）①证明：四边形是平行四边形，
，，
和之间是等距的，且，
，
，
是中点，
，
，
在和中，
，
，
，
是中点．
②解：，，
，
，
设，则，
，
，
，
．
（2）．
证明：过作交延长线于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
16．（2024 河北）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段的长；
（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．
探究 淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段的位置，并直接写出的长．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，
，
由拼接可得：，
由正方形的性质可得：，
，△，为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
设，
，
，，
正方形的边长为2，
对角线的长，
，
，
解得：，
；
（2）为等腰直角三角形，；
，
，
，，
；
如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，
此时，，符合要求，
或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，
此时，，
，
综上：的长为或．
17．（2024 湖北）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：，与墙平行的一边长为（单位：，面积为（单位：．
（1）直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写的取值范围）；
（2）矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由；
（3）当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？
【考点】四边形综合题
【解析】（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
当时，，
，
，
，
当时，矩形实验田的面积能达到；
（3），
当时，有最大值．
18．（2024 河南）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 ②④ （填序号）．
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求的长（用含，，的式子表示）．
（3）拓展应用
如图3，在△中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等，
故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，
故答案为：②④；
（2）①，
理由：延长至点，使，连接，
四边形是邻等对补四边形，
，
，
，
，
△△，
，，
，
；
②过作于，
，
，
，
，
在△中，，
，
的长为；
（3），，，
，
四边形是邻等对补四边形，
，
，
当时，
方法一：如图，连接，过作于，
，
在△中，，
在△中，，
，
解得，
，
，，
△△，
，
即，
，，
，
，
方法二：，
，
△△，
，
即，
，，
，
根据（2）的结论，
则；
当时，如图，连接，
，
△△，
，故不符合题意，舍去；
当时，
方法一：连接，过作于，
，，
△△，
即，
即，
解得，
，，
△△，
，
即，
，，
，
，
方法二：设，
则，
，
，
，
，
根据（2）的结论，
则；
当时，如图，连接，
，
△△，
，故不符合题意，舍去；
综上，的长为或．
19．（2024 天津）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，在第一象限，且，．
（Ⅰ）填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（Ⅱ）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设．
①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【考点】四边形综合题
【解析】过点作，
四边形是平行四边形，，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
①过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，
，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，，
△是等边三角形，
，
，
，
；
当与点重合时，
此时与的交点为与重合，，
如图：当与点重合时，
此时与的交点为与重合，，
的取值范围为；
②如图：过点作，
由（1）得出，，
，
，
，
当时，，
，开口向上，对称轴直线，
在时，随着的增大而增大，
；
当时，如图：
，
，随着的增大而增大，
在时，，
在时，，
当时，；
当时，过点作轴，如图：
由①得出△是等边三角形，，
，
，
，
，
，
开口向下，在时，有最大值，
，
在时，，
，
则在时，；
当时，如图，
，
，随着的增大而减小，
在时，则把，分别代入，得出，，
在时，，
综上：．
20．（2024 乐山）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点逆时针旋转得到，连结． 由旋转的特征得，，，． ，， ． ， ，即． ． 在和△中， ，，， ①_____． ． 又， 在中，②_____． ，， ③_____．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填： △ ；“②”处应填： ；“③”处应填： ．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系： （直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在中，，，，点、在边上，且．设，，求与的函数关系式．
最后，刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．
【考点】四边形综合题
【解析】【问题解决】：如图2，将绕点逆时针旋转得到，连结．
由旋转的特征得，，，．
，，
．
，
，即．
．
在和△中，
，
△．
．
又，
在中，，
，，
．
故答案为：①△；②；③5；
【知识迁移】，理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交边于点，连结．
由旋转得：，，．
由题意得：，
．
在和中，
，
，
．
又为正方形的对角线，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
．
在中，，
；
【拓展应用】如图4所示，延长交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接，．过点作直线与，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
由【知识迁移】知，则，，
则由勾股定理有，
即
又，，，
，
即，
．
故答案为：；
【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到△，连结，过点作，垂足为点，过点作，垂足为，过点作，过点作交于点，、交于点，
由旋转得：，，，．
，，
．
，即．
在和△中，
，
△．
，
，，，
，
又，，
．
，
，，
，
，即，，
，
同理可得：，，
，，
，，
．
又，，
四边形为矩形．
，，，
，
在△中，．
．
解得．
21．（2024 山西）综合与探究
问题情境：如图1，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图1中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，．
①如图2，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由；
②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）四边形为矩形．理由如下：
，，
，，
四边形 为菱形，
，
，
四边形为矩形．
（2）①．理由如下：
证法一：
四边形为菱形，
，．
旋转得到，
，．
，．
，
，
，
，
．
证法二：
如图，连接．
四边形为菱形，
，，
旋转得到，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
②情况一：如图，当点旋转至的延长线上时，，此时．
，，
由勾股定理可得，
旋转到，
，，，
，
，
，
，
，
，即，
解得，则，
，
在中，，
．
情况二：如图，当点旋转至上时，，此时．
同第一种情况的计算思路可得：，，，，
．
综上，四边形的面积为 或．
22．（2024 威海）如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接，．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为 ，点的运动时间为秒．
（1）求证：；
（2）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）求为何值时，线段的长度最短．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）证明：设与相交于点，
四边形为菱形，，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
又，
，
，
；
（2）解：过点作于，
则，
，
，
四边形为菱形，，
，，即，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
为等边三角形，
，
，
线段的长度最短，即的长度最短，当时，取最短，如图，
四边形是菱形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
当时，线段的长度最短．
23．（2024 福建）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中，恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ．
（3）今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示：
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒．如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
【考点】四边形综合题
【解析】（1）如图
上述图形折叠后变成如图
由折叠和题意可知，，，
四边形是正方形，
，即，
，即，
，
，
的值为2；
（2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
选项符合题意，
故答案为：；
（3）需要卡纸如表所示；理由如下：
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2
所用卡纸总费用（单位：元） 58
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为，如图4，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为：
型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图
型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图
型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图
可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则（个，
所用卡纸总费用为：（元．
24．（2024 扬州）如图，点、、、、依次在直线上，点、固定不动，且，分别以、为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．
（1）如图1，若，，求点与点之间的距离；
（2）如图1，若，当点在点、之间运动时，求的最大值；
（3）如图2，若，当点在点、之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接、，则的最小值为 ．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）由题易得，
，
，
，
，
，，，
，解得或6，
点与点之间的距离是4或6．
（2）由（1）知，
设，，
，
，
，
，
，
当时，，
即最大值为12.5．
（3），是中点，
，
，
求的最小值就是求的最小值即可．
如图，连接，则点在的角平分线上，作关于的对称点，连接交为，则即为所求位置，长度即为最小值．
过点作．
，
在的延长线上，
，
四边形为矩形，
，
，
，
在△中，，
即最小值为，
最小值为．
25．（2024 眉山）综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中：
（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为 4 ；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为 ．
（2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为 ．
类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明．
拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积．
（参考数据：，，
【考点】四边形综合题；几何变换综合题
【解析】操作发现：（1）四边形是正方形，
，
当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为；
当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
四边形的面积是4，
故答案为：4，4；
（2）如图，过点作于点，于点．
是正方形的中心，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
类比探究：
证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
拓展延伸：
过点作于点，于点．
同（2）可知四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
重叠部分的面积
．
26．（2024 甘肃）【模型建立】
（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，点在对角线上，点在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【考点】四边形综合题
【解析】（1），理由如下：
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2），理由如下：
过点作于点，过点作于点，如图，
四边形是正方形，是正方形的对角线，
，平分，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，，
四边形是正方形，
是正方形对角线，，
，，
，，
，
，
，
，
；
（3），理由如下：
过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图，
，，，
，
，
，
，
，
，
在正方形中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
27．（2024 江西）追本溯源
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在中，平分，交于点，过点作的平行线，交于点，请判断的形状，并说明理由．
方法应用
（2）如图2，在中，平分，交边于点，过点作交的延长线于点，交于点．
①图中一定是等腰三角形的有 ．
个
个
个
个
②已知，，求的长．
【考点】四边形综合题
【解析】（1） 的形状是等腰三角形，
理由如下：平分，
．
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）①共有四个等腰三角形．分别是：，，，，
故答案为：；
②由（1）可知，．，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
28．（2024 达州）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．
（1）四边形是菱形，
，，．
又，，
．
化简整理得 ．
类比探究
（2）如图2，若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．
拓展应用
（3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）四边形是菱形，
，，，
，
又，，
，
化简整理得，
故答案为：，，；
（2）理由如下，
如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，
，四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，
，，在中，
在中，
，
；
（3）四边形是平行四边形，，，，
由（2）可得，
，
解得：（负值舍去），
四边形是平行四边形，，，
，，，
如图所示，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，连接，
分别为的中点，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
在中，，
，
为的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，．
故答案为：．
29．（2024 山东）一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1．
（1）求证：；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点．
①当时，如图3，求证：四边形为正方形；
②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系．
【考点】四边形综合题
【解析】（1）证明：设，
，，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）①证明：，，
，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，即，
而，
，
四边形是正方形；
②解：当时，线段，，的数量关系为；当时，线段，，的数量关系为．理由如下：
如图1，当时，连接，
由（1）可得：，，
，
，
，
，
，
，
；
如图2，当时，连接，
由（1）可得：，，
，
，
，
，
，
，
，
综上，当时，线段，，的数量关系为；当时，线段，，的数量关系为．
30．（2024 徐州）已知：如图，四边形为正方形，点在的延长线上，连接、．（1）求证：△△；
（2）若，求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】证明：（1）四边形为正方形，
，，
在△和△中，
，
△△；
（2）四边形为正方形，
，
△△，，
，
，
，
，
．
31．（2024 云南）如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；中点四边形；矩形的性质；菱形的判定与性质
【解析】（1）证明：连接，交于点，交于点，交于点，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
、分别是、的中点，
，，
，
，
，分别是、的中点，
，，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：矩形的周长为22，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
1
1
