鲁教版第十章第5节《角平分线》（1）学情分析
进入初二年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较弱，思维的广阔性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。
鲁教版第十章第5节《角平分线》（1）教学效果分析
组织有效教学活动，是为了有效地落实教学目标，从本节课学生学习活动的效果观察，在多个环节的活动中学生知其然不知其所以然，教学目标未能有效地得到落实。如在活动三证明角平线的性质时，如何将文字语言转化为数学语言，基本上是教师直接给予的，学生并没有感受到证明的必要性，没有达到在数学活动中进行积极思考和主动建构，使数学活动变成了无效活动。其根本原因是教师没有抓住所教授内容的数学本质，数学活动不能围绕揭示数学本质而展开，教师过于追求活动的“花样翻新”，过于追求课堂的“热热闹闹”，出现了华而不实、偏离主题的现象，致使数学教学单薄而不厚重。因此，数学活动不但要注重形式，更要注重活动的实质。那么，怎样的数学活动才是有效的呢？有效的数学活动应该是以“揭示数学本质，发展思维能力”为目标的，是能够激发学生进行火热的思考和主动的探究的，是在教师的引导下，学生能够深刻地感悟和揭示数学本质、并自主地完成知识建构的。这就要求教师在设计数学活动时，需要注意以下几点：
一是数学活动要有数学内容。新课程以人的发展为本，提倡向学生提供充分从事数学活动的机会，组织他们主动探索和揭示所学内容的数学本质，并掌握形式化的数学知识。因此，数学课堂应当紧紧围绕教学内容，调动学生原有的经验，给学生以空间和时间，让他们积极有效地探索和解决新的问题，从而获取新的认识。
二是数学活动要让学生有数学思考、有发展变化的体验。数学活动必须是有数学味的活动，是学生经历数学化过程的活动。因此，数学活动的一个重要方面，是要重视让学生从数学层面上来体验、认识所学内容，理解并掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。让学生从数学层面上来理解数学内容的核心就是揭示数学本质，这一点在数学活动中显得尤为重要。
三是数学活动要有恰当的形式。数学活动需要通过学生的操作实验、思考讨论、合作交流等一定的形式来完成，但教师要清楚：教学内容决定着活动的形式，活动的形式服务于教学内容，教学内容的核心是数学本质，活动的最终目的是揭示数学本质，这一点不可以本末倒置。
10.5角平分线（一）教学设计
一、提出问题：
1. 问题1：用尺规怎样做已知角的平分线呢？
2. 问题2：由角平分线的定义你能得到什么性质？
3. 问题3：还记得角平分线上的点有什么性质吗？
你是怎样得到的？你能证明它吗？
定理归纳：
4. 问题4：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你能证明它？
定理归纳：
二、课堂练习：
1.课本第126页第1、2题；
2.课本第127页第4、2题。
三、课堂检测
1. OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D.E，下列结论中错误的是（ ）
A：PD=PE B：OD=OE C：∠DPO=∠EPO D：PD=OD
2. ∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_________.
3. 与相交的两直线距离相等的点在（ ）
A：一条直线上 B：一条射线上
C：两条互相垂直的直线上 D：以上都不对
4. 在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________.
5.如图，已知AD为△ABC的
角平分线，∠ABC=90°，EF⊥AC，
交BC于点D，垂足为F，DE=DC，
求证：BE=CF.
中考真题：
如图，梯形ABCD，AB∥CD，AD=DC=CB，AD.BC的延长线相交于G，
CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，
（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）X| k |B| 1 . c|O |m
（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由.
鲁教版第十章第5节《角平分线》（1）教材分析
（一）地位和作用：
本节课选鲁教版教材《数学》七年级下册第十章第5节，本节课的教学内容包括探索并证明角平分线性质定理及逆定理，会用角平分线性质定理及逆定理解决问题。是在学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．角平分线的性质和判定为证明线段或角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．
（二）教学目标
1、知识目标：（1）探索并证明角平分线性质定理及逆定理.（2）会用角平分线性质定理及逆定理解决问题.
2、基本技能
让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的性质及判定，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别。
3、数学思想方法：从特殊到一般
4、基本活动经验：体验从操作、测量、猜想、验证的过程，获得验证几何命题正确性的一般过程的活动经验
设计意图：
通过让学生经历动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力和数学建模能力了解角的平分线的性质及判定在生产，生活中的应用培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情.
（三）教学重难点
七年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把本节课的教学重点定为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质及判定并能初步运用，难点是：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）
教学难点突破方法：
（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习．
鲁教版第十章第5节《角平分线》（1）观评记录
李老师运用结合图形运用启发性语言激发学生兴趣，调动学习积极性，引发数学思考为出发点设计和组织本节课的教学。整节课在师生积极参与、交往互动、共同发展的过程中进行，以下特色和亮点，可供我们学习借鉴：
1．教学目标明确，符合课标、教材要求和学生实际
李老师选择的教学内容和设计的问题，能紧紧围绕课程标准和教材对角平分线性质和判定的本质要求。
2．情境创设合理，提高学习兴趣和探究欲望
李老师充分利用教材资源，根据教材中的集贸市场建设问题，改编了已有市场建路、有三条路时集贸市场应建在何处等问题，将教学内容用系列的问题串联，既反映数学本质，又使这节课有一个好的形态、好的结构，让学生在不断地探索和解决问题中学习，提高了教学的有效性和学习兴趣。
3．合作交流有效，有助经验共享和问题本质理解
4．及时归纳提炼，达到基础知识的落实和基本能力的提升
李老师在这节课的每一个环节上，都能及时引导学生进行有益的反思和归纳提炼。例如在学习了角平分线的判定后，能及时引导学生比较判定与性质的区别与联系，促进学生建构新的认知结构。在角平分线的性质和判定的证明后，都能及时引导学生归纳，使用角平分线的性质或判定需要的条件和结论，以及使用符号语言的书写规范等。在例题教学及变式练习后，及时归纳过角平分线上的点向角的两边作垂线段是利用角平分线性质或判定解决问题的常用方法。
可以改进的地方：
1．在证明了结论“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”后，应引导学生分析，由于两点确定一条直线，所以“以角的顶点为端点，经过角的内部到角的两边距离相等的点的射线就是角的平分线”，由此让学生感受并明白为什么这个结论可以作为角的平分线的判定，这样也许可以避免由于不理解的记忆而造成性质、判定混淆不清。
2．学生的质疑、提问，以及生生之间的交流尚显得不够。
鲁教版第十章第5节《角平分线》1）评测练习
1. OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D.E，下列结论中错误的是（ ）
A：PD=PE B：OD=OE C：∠DPO=∠EPO D：PD=OD
2. ∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_________.
3. 与相交的两直线距离相等的点在（ ）
A：一条直线上 B：一条射线上
C：两条互相垂直的直线上 D：以上都不对
4. 在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________.
5.如图，已知AD为△ABC的
角平分线，∠ABC=90°，EF⊥AC，
交BC于点D，垂足为F，DE=DC，
求证：BE=CF.
中考真题：
如图，梯形ABCD，AB∥CD，AD=DC=CB，AD.BC的延长线相交于G，
CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，
课件21张PPT。10.5 角平分线 (1)
一 学习新知问题1：用尺规怎样做已知角的平分线呢？
你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 你能证明这一结论吗?
结合我们前面学习的定理的证明方法，你能 写出这个性质的证明过程吗？ 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE. 分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在△OPD≌△OPE而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理(AAS). 故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程. 证明：
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ ∠1= ∠2
∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∴ ∠PDO= ∠PEO
∵OP=OP
∴ △OPD≌△OPE (AAS).
∴ PD=PE
几何语言表示：
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).′ 你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”
的逆命题吗?
逆命题
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 它是真命题吗?如果是.请你证明它.已知:如图 所示,
PD=PE, PD⊥OA,
PE⊥OB, 垂足分别
是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠POD=∠POE.BACDEOP证明：∵PD⊥OA PE⊥OB
∴△POD和△BPOE都是Rt△
∵PD=PE,OP=OP
∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)
∴ ∠POD= ∠POE
∴ OC是∠AOB的平分线 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离 相等的点,在这个角的平分线上.如图,
∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
例题讲析例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.解：
二 挑战自我 1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平 分线和外角平分线,它们有什么关系?（P126第1题）老师期望:你能说出结论并能证明它. 2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000)（P126第2题）.3. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等（P127第4题）. 4.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC. （P127第2题）证明: ∵ AD是△ABC的角平分线
且DE⊥AB,DF⊥AC
∴ DE=DF
∵BD=CD
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴ EB=EC
三 回顾与小结定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个 角的平分线上). 结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.鲁教版第十章第5节《角平分线》（1）课后反思
我在《角平分线的性质与判定》的教学中，采用了“创设情境—自主探究—合作交流—学习诊断—自我反思”流程的模式，通过教学实践，我体会到:
一、重视情境创设，让学生经历求知过程。本节课引入问题教学的模式，其目的是引导学生积极参与课堂，积极投入到解题思路的探索过程中，通过合作学习引导学生深层次参与，倡导同学们要学会用大脑去思考，用耳朵去倾听,用眼睛去观察，用双手去操作，使学生言语与行动逐步起到自觉调控的作用，促进思维的“内化”，从而发展学生的独立思考能力。
二、注重对学生数学课堂学习过程的评价，尽可能做到充分理解和尊重学生的发言。对正确的发言给予真诚的肯定，对不对的意见有意进行冷处理，创造机会让学生去争论。学生能够在课堂上敢说、敢议、敢评。
不足的地方：在具体的教学过程中，整个课堂显得时间仓促，没有给学生留下足够的时间和空间进行定理应用。没有充分地检验学生运用角平分线性质定理进行简单的推理及解决问题的能力。对知识的梳理做的不够。
鲁教版第十章第5节《角平分线》（1）课标分析
《标准》要求：探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
