4.2　指数函数的图象和性质 同步练习 （含答案）2024-2025学年 高中数学人教A版（2019）必修 第一册

2024-2025学年人教A版必修第一册课时作业 　指数函数的图象和性质
一、选择题
1．若二次函数在上是偶函数，则的值分别是( )
A. 2，1 B. 1，2 C. 0，2 D. 0，1
2．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3．设为定义在R上的奇函数，且当时，，则( )
A. B. C. D.
4．已知函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．已知是偶函数,定义域为,又在上是增函数,且,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6．已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
7．已知,,,则( )
A. B. C. D.
8．已知函数,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列函数中既是奇函数又是增函数为( )
A. B. C. D.
10．已知关于，且．下列正确的有( )
A.最小值为9
B.最小值为-1
C.若，则
D.
11．若函数是奇函数,下列选项正确的是( )
A.
B.是单调递增函数
C.是单调递减函数
D.不等式的解集为
三、填空题
12．函数（且）恒过定点________.
13．已知函数,则的解集为________.
14．下列函数中是指数函数的是__________（填序号）.
①；②；③；④；⑤；⑥.
四、解答题
15．已知函数（,且）.
（1）若,求函数在上的最值;
（2）若函数在区间上单调递增,求实数a的取值范围.
16．已知函数，且的图象经过点，.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，求函数的值域.
17．已知函数.
（1）若，求实数x的取值范围；
（2）求的值域.
18．回答下列问题.
（1）求值
（2）设,求函数的最大值和最小值.
19．已知函数，为偶函数.
（1）求实数a的值；
（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：：由奇偶性的性质可知定义域关于原点对称，，
解得，
又在上是偶函数，的图象关于y轴对称，则，解得，
故选B．
2．答案：B
解析：由，得，解得，
所以，
因为，
所以以，
所以，
所以.
3．答案：D
解析：因为为定义在R上的奇函数，所以，令，可得，即，
又当时，，
所以，所以.
故选：D.
4．答案：B
解析：由题意知函数由，复合而成，
在R上是单调递减函数，故由在区间上是减函数，
可知在区间上是增函数，故，，
即实数a的取值范围是，
故选：B
5．答案：B
解析：因为是偶函数,定义域为,又在上是增函数,且,
所以,在上是减函数,
作出函数大致图像如下：
由图像可得,的解集为
6．答案：C
解析：，因为函数是实数集上的增函数，
所以由可得：，即，
故选：C.
7．答案：D
解析：由指数函数的性质易得,所以,,故.
故选：D.
8．答案：A
解析：解法一:,,选A.
解法二:特值当时,,排除B,D,当时,,排除C,选A.
9．答案：BCD
解析：对于A,在和上为增函数,但在定义域上不是增函数,A错误;
对于B,的定义域为R,,
为定义在R上的奇函数;
当时,,由二次函数性质知:在上单调递增;
结合奇函数性质知:上单调递增,
是定义在R上的增函数,B正确;
对于C,的定义域为R,,
为定义在R上的奇函数;
在上单调递增,在R上单调递减,
是定义在R上的增函数,C正确;
对于D,定义域为R,,
为定义在R上的奇函数;
在R上单调递增,且恒大于零,
在R上单调递减,
在R上单调递减,即为定义在R上的增函数,D正确.
故选:BCD.
10．答案：CD
解析：A选项，因为，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，A错误；
B选项，因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
但由于，故等号取不到，所以的最小值不为-1，B错误；
C选项，，
因为，，所以由基本不等式得，
故，C正确；
D选项，由基本不等式得，
所以，当且仅当时，等号成立，D正确.
故选：CD.
11．答案：ACD
解析：因为是奇函数,所以;
即,解得,A正确;
因为为增函数,且,所以为减函数,
所以是单调递减函数,B不正确,C正确;
因为是奇函数,所以不等式等价于不等式,
因为是单调递减函数,所以,解得,D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：令可得，则，因此，函数的图象恒过定点.
13．答案：
解析：当时,,因为,所以解得,
当时,时,因为,所以,解得
综上可得不等式的解集为,故答案为:
14．答案：③
解析：①的系数不是1，不是指数函数；
②的指数不是自变量x，不是指数函数；
③是指数函数；
④的底数是x不是常数，不是指数函数；
⑤的指数不是自变量x，不是指数函数；
⑥是幂函数.
故答案为：③.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,设,
函数在上递减,在上递增,函数在R上递减,
则函数在上递增,在上递减,,,,
所以当,时,,,
（2）函数在上递减,在上递增,
当时,函数在R上递增,所以函数在上递减,在上递增,又,则函数在区间上递增;
当时,函数在R上递减,所以函数在上递增,在上递减,又,若需满足题意,则,得.
综上,.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）将点，代入函数的解析式中，
得，解得，
，，，.
（2），
令，则，
，，则在上是递增函数，
，函数的值域为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，且在定义域R内单调递增，
则，解得，
所以实数x的取值范围为.
（2）因为，当且仅当时等号成立，
且在定义域R内单调递增，则，
又因为，所以的值域为.
18．答案：（1）19;
（2）最大值为5,最小值为3.
解析：（1）
（2）令,因为,所以.
则函数可化为.
因为在上单调递减,在上单调递增,所以
当,即时,最小;
当,即时,最大.
所以函数的最大值为5,最小值为3.
19．答案：（1）；
（2）递减区间是，递增区间是；
（3）.
解析：（1）函数的定义域为R，由为偶函数，得，
即，即，又不恒为0，
所以.
（2）函数，令，函数在上单调递增，
当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增，又函数是R上的偶函数，因此在上单调递减，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（3）由（2）知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，
不等式，
则，而，
于是，
依题意，对于任意恒成立，
当时，，当且仅当或时取等号，
，当且仅当时取等号，因此，
所以实数k的取值范围是.