2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 7.3 复数的三角表示（含解析）

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2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 7.3 复数的三角表示
一、选择题
1．将复数化成代数形式，正确的是( )
A.4 B.-4 C. D.
2．复数的辐角主值是( )
A. B. C. D.
3．复数的辐角主值是( )
A. B. C. D.
4．已知：棣莫弗公式（i为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5．已知，，则( )
A. B. C. D.
6．如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的( )
A.辐角唯一 B.辐角主值唯一
C.辐角主值为 D.辐角主值为
二、多项选择题
7．欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：（把称为复数的三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度r叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数，，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是( )
A.若，则有
B.若，，则
C.若，则
D.设，则在复平面上对应的点在第一象限
8．已知i是虚数单位，下列说法正确的是( )
A.已知，若，，则
B.复数，满足，则
C.复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线
D.复数z满足，则
三、填空题
9．已知平面直角坐标系中向量的旋转和复数有关,对于任意向量,对应复数,向量逆时针旋转一个角度,得到复数,于是对应向量.这就是向量的旋转公式.已知正三角形的两个顶点坐标是,,根据此公式,求得点C的坐标是_______________.（任写一个即可）
10．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：.据此公式，复数的虚部为______.
11．设复数z的辐角是，实部是－2，则z=________.
四、解答题
12．设.
(1)求证：
(2)求证：
(3)在复数范围内，解方程
13．已知复数,的实部分别为，,虚部分别为，,其中.
（1）求的取值范围；
（2）能否为纯虚数，若能，求；若不能，请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：
故选：D.
2．答案：B
解析：由辐角主值的定义，知复数的辐角主值是.
故选：B.
3．答案：D
解析：，
，，
辐角主值，
故选：D.
4．答案：B
解析：由，
所以，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，，
，
所以，，
复数在复平面内所对应的点位于第二象限.
故选：B.
5．答案：D
解析：
.
故选：D.
6．答案：B
解析：辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，
非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值.
故选：B.
7．答案：AC
解析：对于A，，故A正确；
对于，
由棣莫弗定理可知，两个复数，相乘，所得到的复数的辐角是复数，的辐角之和，模是复数，的模之积，
所以的辐角是复数z的辐角的n倍，模是，故C正确；
对于，
，所以，故B错误；
对于，
设，故，
故复数在复平面上所对应的点为，不在第一象限，故错误.
故选：AC.
8．答案：BCD
解析：对A，虚数不能比较大小，可知A错误；
对B，根据共轭复数的定义知，当时，，
则，故B正确；
对C，因为复数z满足，
则复数在复平面上对应的点到，两点间的距离相等，
则复数z在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，
即z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C正确；
因为，
则，
又，
故D正确，
故选：BCD.
9．答案：（答案不唯一）
解析：设点C的坐标为,点,,则,,
从而对应的复数为,
若由逆时针旋转得到,对应的复数为,
因此,解得,,
则C的坐标是；
若由逆时针旋转得到,对应的复数为,
因此,解得,
则点C的坐标是.
10．答案：
解析：，
故其虚部为.
故答案为：.
11．答案：
解析：由复数，则
所以
故答案为:
12．答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)或或
解析：(1)因为
所以
(2)因为
所以
所以
(3)
令则
故故
故
故或或
13．答案：（1）
（2）不能，理由见解析
解析：（1）由复数,的实部分别为，,虚部分别为，,
可得，,,
可得，
因此的取值范围是.
（2）因，,,
所以，
因此，且，
化简得，即，可得，
此时，,,故不能为纯虚数.
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