2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.1 基本立体图形（含解析）

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2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.1 基本立体图形
一、选择题
1．九棱锥共有( )
A.9条棱 B.10条棱 C.12条棱 D.18条棱
2．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积( )
A. B. C. D.
3．已知H是球O的直径上一点,,平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,M为上的一点,且,过点M作球O的截面,则所得的截面面积最小的圆的半径为( )
A. B. C. D.
4．如图：正三棱锥中，，侧棱，BD平行于过点C的截面，则截面与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.
5．如图,正方体的棱长为2,点E,F分别是AB,BC的中点,过点,E,F的平面截该正方体所得的截面多边形记为,则的周长为( )
A. B. C. D.
6．如图,在正方体中,E为AB中点,P为线段上一动点,过D,E,P的平面截正方体的截面图形不可能是( )
A.三角形 B.矩形 C.梯形 D.菱形
二、多项选择题
7．如图,在直三棱柱中,D,G,E分别为所在棱的中点,,三棱柱挖去两个三棱锥,后所得的几何体记为,则( )
A.有7个面 B.有13条棱 C.有7个顶点 D.直线直线EF
8．已知正四棱柱的底面边为1,侧棱长为a,M是的中点,
则( )
A.任意,
B.存在,直线与直线BM相交
C.平面与底面交线长为定值
D.当时,三棱锥外接球表面积为
三、填空题
9．如图所示,在直三棱柱中,,,P是线段上一动点,则的最小值为________.
10．某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后,制成了简易笔筒（如图2）的侧面,已知,则制成的简易笔筒的高为________cm.
11．已知直四棱柱的棱长均为2,.以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为________.
四、解答题
12．如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是多少？

13．如图,AB是圆柱的底面直径,,PA是圆柱的母线且,点C是圆柱底面圆周上的点.
（1）求圆柱的侧面积和体积;
（2）证明:平面平面;
（3）若,D是PB的中点,点E在线段PA上,求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：九棱锥共有条棱.
故选:D
2．答案：B
解析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则，解得，
又，解得，
所以圆锥的高为，
所以圆锥的轴截面的面积是，
故选：B
3．答案：C
解析：如图,设截得的截面圆的半径为r,球O的半径为R,
因为,
所以.由勾股定理,得,由题意得,,
所以,解得,
此时过点M作球O的截面,若要所得的截面面积最小,只需所求截面圆的半径最小.
设球心O到所求截面的距离为d,所求截面的半径为,则,
所以只需球心O到所求截面的距离d最大即可,
而当且仅当与所求截面垂直时,球心O到所求截面的距离d最大,
即,所以.
故选：C.
4．答案：D
解析：把正三棱锥的侧面展开，
两点间的连接线即是截面周长的最小值.
正三棱锥中，，所以，，
，
截面周长最小值是.
故选：D.
5．答案：D
解析：延长DA,DC,与直线EF相交于M,Q,
连接,与,分别交于点P,H,连接PE,HF,
则五边形即为截面,
正方体的棱长为2,点E,F分别是AB,BC的中点,
所以,
由得,
,,
所以P,H分别为靠近A,C的三等分点,故,
所以由勾股定理得,
,
所以的周长为.
故选:D.
6．答案：A
解析：B选项,当点P与重合时,
取中点H,因为E是AB中点,则,且,
连接DE,EH,,,则四边形为平行四边形,
又因为,所以平行四边形为矩形,故排除B选项;
C选项,当点P与重合时,
取中点G,因为E是AB的中点,所以,
连接DE,EG,,,截面四边形为梯形,故排除C选项;
D选项,当点P为中点时,
因为是中点,所以且,
连接,,ED,DP,则四边形是平行四边形,
又因为,,
因为是正方体,所以,所以,
所以平行四边形是菱形,故排除D选项;
不管点P在什么位置,都不可能是三角形.
故选:A.
7．答案：ABD
解析：对于A,由图可知,有面BCGF,面EFG,面,面,面,面,面共7个,故A正确;
对于C,有顶点B,C,G,F,E,,,D共8个,故C错误;
对于B,有棱BF,FG,GC,CB,FE,EG,BD,,,,,,共13条棱,故B正确;
对于D,取AB中点H,连接CH,,则可得,,
因为,则F为AH中点,且E为中点,则,
所以直线直线BD,故D正确;
故选：ABD.
8．答案：AC
解析：对于A,,,,,平面,
平面,平面,,故正确;
对于B,因为平面,平面,
所以平面,
与异面,故不相交,故错误;
对于C,延长BM,交于N点,连接交于P,M为中点,
,
所以,
所以,,
所以,
平面平面,
平面与底面交线为,
其中P为中点,所以,故正确对;
对于D,,是直角三角形,外接圆是以为直径的圆,
圆心设为,半径,
取中点Q,则平面,,
所以,
所以,
,故错误.
故选：AC.
9．答案：7
解析：连接,以所在直线为旋转轴,将所在平面旋转到与平面重合,
设点的新位置为,连接,则有,如图所示.
当A,P,三点共线时,的长为的最小值,
因为,,所以.
又,所以是边长为的正三角形,.
又,所以,所以,
由勾股定理可得.
故为:7
10．答案：
解析：依题意,圆台上底面圆周长为,则圆台上底半径,
圆台下底面圆周长为,则圆台下底半径,
圆台轴截面是等腰梯形,上下底边长分别为10,20,腰长为30,
所以圆台的高,即等腰梯形的高为（cm）.
故为:
11．答案：.
解析：如图:
取的中点为E,的中点为F,的中点为G,
因为60°,直四棱柱的棱长均为2,所以为等边三角形,所以,,
又四棱柱为直四棱柱,所以平面,所以,
因为,所以侧面,
设P为侧面与球面的交线上的点,则,
因为球的半径为,,所以,
所以侧面与球面的交线上的点到E的距离为,
因为,所以侧面与球面的交线是扇形EFG的弧,
因为,所以,
所以根据弧长公式可得.
故答案为:.
12．答案：
解析：依题意长方体的表面有三种展开方式，如图，
展开后，A，两点间的距离分别为：
，，，
它爬行的最短路程是.
故答案为：.
13．答案：（1）,
（2）见解析
（3）
解析：（1）圆柱的底面半径,高,
圆柱的侧面积.圆柱的体积.
（2）由题意知,平面ABC,又平面ABC,
所以,
而,AC,平面PAC,
所以平面PAC,
又平面PBC,
故平面平面PAC;
（3）将绕着PA旋转到使其与平面PAB共面,且在AB的反向延长线上.
当D,E,三点共线时取得最小值,为.
,,
,,
在三角形中,由余弦定理得,
的最小值等于.
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