2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（含解析）

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2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、选择题
1．已知正三棱台的体积为,若,,则该正三棱台的高为( )
A. B. C. D.
2．某三棱锥三视图如图所示,则该三棱锥
的表面积是( )
A. B. C. D.
3．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆,则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5．如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么( )
A. B. C. D.
6．已知直四棱柱的底面是边长为2的菱形,且,若M,N分别是侧棱,上的点,且,,则四棱锥的体积为( )
A. B.2 C. D.6
二、多项选择题
7．下列命题中正确的是( )
A.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为
B.圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为
C.正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为
D.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为
8．如图,在棱长为2正方体中,E,F,G,H分别是,,CD,BC的中点,则下列说法正确的有( )
A.E,F,G,H四点共面
B.BD与EF所成角的大小为
C.在线段BD上存在点M,使得平面EFG
D.在线段上任取一点N,三棱锥的体积为定值
三、填空题
9．一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为______．
10．《九章算术》中将正四棱台称为方亭,现有一方亭,,体积为13,则该方亭的高是__________.
11．中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时,将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图,图（2）为立体切面图.E对应的是正四棱台中间位置的长方体,B,D,H,F对应四个三棱柱,A,C,I,G对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12,四个四棱锥的体积之和为4,则该正四棱台的体积为__________.
四、解答题
12．正四棱柱中,,E,H分别是棱,的中点,.
（1）求正四棱柱的体积;
（2）求平面AEH与平面所成锐二面角的余弦值.
13．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.
（1）若P是的中点，证明：；
（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.
参考答案
1．答案：A
解析：在正三棱台中,上、下底面均为正三角形,设正三棱台的高为h,
则,,
又,解得.
2．答案：B
解析：该几何体是棱长分别为2,2,1的长方体中的三棱锥:,
其中:,,,
该几何体的表面积为:.
故选:B.
3．答案：C
解析：法一：如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底边长为a，高为h，
依题意，得，解得.由题意及图可得，解得，所以正四棱锥的体积，所以，令，得，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又当时，；当时，；当时，；所以该正四棱锥的体积的取值范围是.故选C.
法二：如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底边长为a，高为h，
依题意，得，解得.由题意及图可得，解得，又，所以该正四棱锥的体积
（当且仅当，即时取等号），所以正四棱锥的体积的最大值为，排除A，B，D，故选C.
法三：如图，设该球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底边长为a，高为h，正四棱锥的侧棱与高所成的角为，
依题意，得，解得，所以正四棱锥的底边长，高.在中，作，垂足为E，则可得，所以，（另解：也可以利用余弦定理，得）所以正四棱锥的体积，设，易得，则，则，令，得，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.又当时，；当时，；当时，；所以，所以.所以该正四棱锥的体积的取值范围是，故选C.
4．答案：D
解析：设圆锥的底面圆半径为r,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则,解得,
则圆锥的高,所以该圆锥的体积为.
故选：D.
5．答案：A
解析：设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，
则，，
所以，即.
故选：A.
6．答案：A
解析：直四棱柱的底面是边长为2的菱形,且,
M,N分别是侧棱,上的点,且,,
根据正四棱柱的结构特征,在是矩形,故BCMN是两底分别为1,2,高为2的直角梯形,
,
过A作于E,由于侧面与底面ABCD垂直,BC是交线,
AE在底面内,故AE与平面BCMN垂直,
根据所给条件可得,
四棱锥的体积为.
7．答案：BCD
解析：对于A，截面小圆半径为1，则球半径，该球的表面积为，A错误；
对于B，设容器内水面下降的高度为h，则，解得，B正确；
对于C，正四棱台的高，体积为，C正确；
对于D，圆锥底面圆半径，则，解得，圆锥的高，
体积为，D正确.
故选：BCD.
8．答案：AD
解析：以A为原点,以AB,AD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,,,,
设,
则,
所以,解得,
故,即E,F,G,H四点共面,故A正确;
因为,,
所以,
所以BD与EF所成角的大小为,故B错误;
假设在线段BD上存在点M,符合题意,
设,则,
若平面EFG,则,,
因为,,
所以,此方程组无解,
所以在线段BD上不存在点M,使得平面EFG,故C错误;
因为,所以,
又平面EFG,平面EFG,所以平面EFG,
故上的所有点到平面EFG的距离即为B到平面EFG的距离,是定值,
又的面积是定值,
所以在线段上任取一点N,三棱锥的体积为定值,故D正确;
故选：AD.
9．答案：
解析：设圆锥高为，底面半径为r，则，，
，
，令得或（舍去），
当时，，函数V是增函数；当时，．函数V是减函数，
因此当，时函数取得极大值也最大值，此时圆锥体积最大．
故侧面积为
故答案为：
10．答案：3
解析：设正四棱台的高为h.因为,
所以方亭的体积,
解得.
11．答案：28
解析：如图,令四棱锥的底面边长为a,高为h,三棱柱的高为b,
依题意,四棱锥的体积为,即,
三棱柱的体积为,即,因此
于是长方体的体积,
所以该正四棱台的体积为.
故答案为:28
12．答案：（1）
（2）
解析：（1）连接,因为,
所以四边形为平行四边形,所以,
因为,所以.
因为,,
所以,所以,
所以,所以,
所以.
所以正四棱柱的体积.
（2）以D为坐标原点,分别以DA,DC,所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
设平面AEH的法向量为,
,,
则,,
令,则,,
则平面AEH的法向量为.
设平面的法向量为,
,,
则,,
令,则,,
则平面的法向量为.
.
所以平面AEH与平面所成锐二面角的余弦值为.
13．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，x轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，其中，，
若P是的中点，则，，，
于是，，即.
（2）由题设知，，是平面内的两个不共线向量.
设是平面的一个法向量，
则取，得.
又平面的一个法向量是，
，
而二面角的余弦值为，因此，
解得或（舍去），此时.
设（），而，由此得点，，
平面，且平面的一个法向量是，
，即，解得，从而.
将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，
故四面体的体积.
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