2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（含解析）

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2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
一、选择题
1．攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式,如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知该圆锥的底面直径为8m,高为3m,则该屋顶的面积约为( )
A. B. C. D.
2．在正四棱锥中,.用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥,得到几何体,,,则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
3．铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物,已有数千年历史,是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图,用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成,上下底面的半径均为25cm,公共底面的半径为15cm,铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为,现有青铜材料1000kg,则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为( )
（注：）
A.1 B.2 C.3 D.4
4．半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为( )
A. B. C. D.
5．已知向量,,其中,若,则( )
A.40 B.48 C.51 D.62
6．白居易的《别毡帐火炉》写道：“赖有青毡帐,风前自张设．”古代北方游牧民族以毡帐为居室．如图所示,某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体,圆锥的高为,圆柱的高为,底面圆的直径为,则该毡帐的侧面积(单位)是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
7．如图,多面体ABCDEF中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,,点G在AF上,则下列说法正确的是( )
A.平面AEC
B.多面体ABCDEF的外接球的表面积为
C.的周长的最小值为
D.EG与平面AFC所成的角的正弦值最大为
8．如图,一块边长为正方形铁片上有四个以O为顶点的全等的等腰三角形（如图1）,将这4个等腰三角形裁下来,然后用余下的四块阴影部分沿虚线折叠,使得A,重合,B,重合,C,重合,D,重合,,,,重合为点P,得到正四棱锥（如图2）.则在正四棱锥中,以下结论正确的是( )

A.平面平面
B.平面
C.当时,该正四棱锥内切球的表面积为
D.当正四棱锥的体积取到最大值时,
三、填空题
9．若球的表面积为,则该球的半径是___________．
10．在正四面体中，E，F分别为，的中点，，截面将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是________.
11．在正四棱台中,,则该棱台的体积为________.
四、解答题
12．已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,母线长为6,,、是底面半径,且,M为线段的中点,如图所示．
（1）求圆锥的侧面积和体积;
（2）求异面直线与所成的角的余弦值．
13．在中,,,,以AB所在直线为轴,三角形面旋转一周形成一旋转体,求此旋转体的表面积和体积．
参考答案
1．答案：B
解析：由题知,圆锥底面圆半径,高,
则母线,
因此圆锥的侧面积为.
即屋顶的面积为,
故选:B.
2．答案：C
解析：设正四棱锥的侧棱长为a,
连接与交于点,连接,则平面ABCD,
因为,所以,
因为,所以在中,,
解得:,所以,
又因为用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥,
得到几何体,,
则几何体为正四棱台,
连接AC,BD交于点O,所以O为的中点,
所以,所以几何体的体积为:
.
故选:C.
3．答案：C
解析：依题意圆台的上底面半径为,下底面半径为,高为,
所以铜鼓的体积,
又,故可以打造这样的实心铜鼓的个数为3.
故选：C.
4．答案：A
解析：由题意可知实心球体积为,实心球体积为,
所以实心球与实心球体积之差的绝对值为.
故选：A.
5．答案：C
解析：因为,,且,故,解得或（舍去）,经检验当时,,故.
故选C.
6．答案：C
解析：由题意,得该毡帐的侧面积为.
7．答案：ABD
解析：取AE的中点记为H,连DH,FH,由题意知平面BDEF,故.
由平面DHF,可得,所以平面AEC,故A正确.
由题意可知,DF的中点O为外接球的球心,故半径,所以,故B正确.
把沿AF折成与共面,连BD,则,所以的周长的最小值为,故C错误.
由对称性可知,平面AFC,记平面,连IG,则为EG与平面AFC所成的角,,因为,所以当G为中点时,的正弦值最大为的正弦值最大为,故D正确.
故选ABD.
8．答案：ABD
解析：对于A,连接,在正四棱锥中,,由折叠可得,P为的中点,所以,
因为四边形为正方形,所以,即,
因为,,平面,所以平面,
因为平面,所以平面平面,所以A正确,
对于B,因为,平面,平面,所以平面,所以B正确,
对于C,当时,因为四边形为正方形,所以,
因为在图1中,为等腰直角三角形,所以,所以,
因为正方形铁片的边长为10,所以
所以中边上的高为,,
所以,
设内切球的半径为r,则,
所以,解得,
所以该正四棱锥内切球的表面积为,所以C错误,
对于D,设,则,,
所以,
令,则,令,
则,
令,则（舍去）,或,
当时,,当时,,
所以当,时,y有最大值,所以D正确,
9．答案：1
解析：设球的半径为R,依题意,解得（负值已舍去）.
故答案为：1.
10．答案：
解析：取，
由可得，，故，
故得截面为四边形，
，
，
，
故，
故体积较大部分与体积较小部分的体积之比，
故答案为：
11．答案：/
解析：如图,过作,垂足为M,易知为四棱台的高,
因为,,,
则,,
故,则,
所以所求体积为.
故答案为:.
12．答案：（1）侧面积为体积为
（2）
解析：（1）由题意,,
则圆锥的侧面积,
圆锥的体积
（2）取的中点,设为N,连接,,,
因为N为的中点,M为的中点,
所以,
于是是异面直线与所成的角（或其补角）.
M为线段的中点,,且,
则,
又,
,
所以
则异面直线与所成角的余弦值为
13．答案：表面积为,体积为.
解析：过C点作,垂足为D．以AB所在直线为轴旋转一周,
所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥,如图所示,
这两个圆锥高的和为,
底面半径,
故.
.
即所得旋转体的表面积为,体积为.
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