2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.5.3 平面与平面平行（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.5.3 平面与平面平行
一、选择题
1．在正方体中，下列四对截面彼此平行的是( )
A.平面与平面 B.平面与平面
C.平面与平面 D.平面与平面
2．在四棱锥中，底面ABCD为正方形，E，F分别为侧棱，上的点，且满足，平面BDE，则( )
A. B.2 C.3 D.4
3．已知正方体的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，则点P的轨迹长为( )
A. B.2 C. D.1
4．如图，在直三棱柱中，O是与的交点，D是的中点，，，给出下列结论.
①AB与是相交直线；
②平面；
③平面平面；
④平面，
其中正确的结论是( )
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
5．设m、n是不同的直线，，是不同的平面，以下是真命题的为( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
6．若、是两个不重合的平面，
①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
②设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则；
③若外一条直线l与内的一条直线平行，则.
以上说法中成立的有( )个.
A.0 B.1 C.2 D.3
二、多项选择题
7．如图所示，在正方体中，点E，F，M，N分别为所在棱的中点，下列判断不正确的是( )
A.直线平面MNE B.直线平面MNE
C.平面平面MNE D.平面平面MNE
8．如图,已知正方体,点E、F、G分别为棱、、的中点,下列结论正确的有( )
A.与共面 B.平面平面
C. D.平面
三、填空题
9．已知正方体的棱长为2，点M，N分别是棱，的中点，若动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是________.
10．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列正确命题的序号是______.
①若，，，则②若，，，则
③若，，，则④若，，，则
11．如图所示，在正四棱柱中，E，F，G，H分别是棱，，，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件__________时，就有平面.（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）
四、解答题
12．如图,在多面体中,底面为平行四边形,,,矩形所在平面与底面垂直,M为的中点.
（1）求证：平面平面;
（2）若平面与平面夹角的余弦值为,求与平面所成角的正弦值.
13．如图，在三 样中，D，E分別是梭，的中点.
（1）在棱上找一点F，使得平面平面，并证明你的结论；
（2）若，是边长为2的等边三角形，，，求二面角的正弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：如图，正方体，，，
所以四边形是平行四边形，，平面，
面，所以平面，同理平面.
因为，，平面，
所以平面平面.
故选：A.
2．答案：C
解析：平面BDE，
设AC与BD相交于O，连接OE，过点F作，交PC于H，
连结AH，则得到平面平面BDE，，，
，，
，，，
，，
故选:C.
3．答案：A
解析：如图，
分别作的中点G，H，F，连接，，GH，HE，，，，EF，
由题可知，
则四边形为平行四边形，
平面BEF，平面，平面；
同理可得平面，所以平面平面，
由题意知平面，又点P为四边形内（包括边界）的一动点，
线段GH，点P的轨迹为GH，．
故选：A．
4．答案：D
解析：对于①，在直三棱柱中，根据异面直线的定义知AB与是异面直线，所以①错误；
对于②，的中点为D，且O是与的交点，所以O是的中点，连接OD，则，因为平面，平面，所以平面，所以②正确；
对于③，因为平面，所以平面AOD与平面相交，所以③错误；
对于④，因为在直三棱柱中，，所以四边形是正方形，平面，因为平面，所以，又，，所以平面，所以④正确，故选D.
5．答案：B
解析：对于A，如上图正方体中，设平面为，
平面为，为m，
满足，，此时，故A错误；
对于B，因为，，，是不同的平面，则必有，故B正确；
对于C，如上图正方体中，设平面为，
平面为，为m，
满足，，此时，故C错误；
对于D，如上图正方体中，设平面为，
为m，为n，
则满足，，此时，故D错误.
故选:B.
6．答案：C
解析：对于①，设、为平面内两条相交直线，m、n为平面内两条相交直线，
且满足，，
因为，，，所以，，同理可得，
因为a、b为平面内两条相交直线，故，①对；
对于②，设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则、相交（不一定垂直），②错；
对于③，若外一条直线l与内的一条直线平行，由线面平行的判定定理可知，，③对.
所以，真命题的个数为2.
故选：C.
7．答案：ABC
解析：过点M，N，E的平面为平面MNJIEH，如图所示（H，I，J均为所在棱的中点），所以直线AD与截面MNE交于点H，故A项错误；
直线与直线IJ在平面内一定相交，故B项错误；直线与直线EI相交，故平面与平面MNE不平行，故C项错误；因为E，I分别为，的中点，所以，因为平面，平面MNE，则平面MNE，同理可证平面MNE，又因为，平面，所以平面平面MNE，故D项正确.故选ABC.
8．答案：AB
解析：如下图所示：
对于A选项,连接,
在正方体中,且,
所以,四边形为平行四边形,则,
因为E、F分别为、的中点,则,故,
所以,与共面,A对;
对于B选项,因且,所以,四边形为平行四边形,
则,
又因为E、G分别为、的中点,则,所以,,
因为平面,平面,所以,平面,
同理可证平面,
因为,、平面,所以,平面平面,B对;
对于C选项,不妨设的棱长为,则,
,,
因为平面,平面,则,
所以,,
所以,,故、不垂直,C错;
对于D选项,假设平面,
又因为平面,,、平面,
所以,平面平面,
事实上,平面与平面不平行,假设不成立,D错.
故选：AB.
9．答案：
解析：连接，，取的中点E，的中点F，连接，，，则，，所以，
因为，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
因为，所以平面平面，
平面，P的轨迹为线段．
，，
当时，取得最小值，
当P与E（或F）重合时，取得最大值.
．
故答案为：.
10．答案：②
解析：对于①，在长方体中，平面，平面分别为，
直线，分别为直线m，n，显然有，，，而，①错误；
对于②，因为，，当时，由，得，
当n不在平面内时，则存在过直线n的平面与，都相交，令交线分别为l，，
则有，而，，于是，因此，②正确；
对于③，在长方体中，平面，平面分别为，，
直线，分别为直线m，n，满足，，，而，③错误；
对于④，在长方体中，平面，平面分别为，，
直线，分别为直线m，n，满足，，，而，④错误，
所以正确命题的序号是②.
故答案为：②
11．答案：点M在线段FH上（答案不唯一）
解析：取的中点Q，连接QN，QF，FH，HN，如图.
因为H，N分别是CD，CB的中点，所以.因为平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面FQNH，所以平面平面，因此只要，就有平面.故点M在线段FH上（答案不唯一）.
12．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图,连接交于点G,连接.
因为底面为平行四边形,
所以G为的中点.
因为M为的中点,所以.
又因为平面,平面,
所以平面.
因为为矩形,所以,平面,平面,
所以平面.
因为,平面,平面,
所以平面平面.
（2）因为,,,所以,.
因为平面平面,平面平面,,
所以平面.
分别以,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
设,则,,,,,
所以,,,,
设平面的法向量为,则
即,令,则,
设平面的法向量为,则
即,令,则,
所以,解得,
所以,.
设与平面所成的角为,
则.
所以与平面所成的角的正弦值为.
13．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）F为棱的中点.
证明如下：如图，连接，.
因为E，F分别是棱，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
因为D，F分别是棱，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
因为，所以平面平面.
（2）取的中点O，连接.
由为等边三角形，D为棱的中点，可得，
因为，，所以平面，所以.
因为，，所以.
又，所以平面.
以O为坐标原点，过点O作的平行线作为x轴，以，直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则取.
设平面的法向量为，
则取.
所以，
则二面角的正弦值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)