2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.6.1 直线与直线垂直（含解析）

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2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.6.1 直线与直线垂直
一、选择题
1．如图，在正四棱锥中，，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2．平行六面体中，底面为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为( )
A.0 B. C. D.
3．下列命题正确的个数为( )
①长方体中,,,则异面直线与BD所成角的余弦值为;
②对于命题:,,则命题p的否定:,;
③“”是“”的充分不必要条件;
④已知,,,,且,则的值为.
A.0 B.1 C.2 D.3
4．已知异面直线a与b所成的角为，a与c所成的角为，则b与c所成角的范围是( )
A. B. C. D.
5．如图,在直三棱柱中,,,直线与平面所成角的正弦值为,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6．如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线PB与AC所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
7．如图所示，直线垂直于圆O所在的平面，内接于圆O，且为圆O的直径，点M为线段的中点.则下列结论正确的是( )
A.；
B.平面；
C.平面；
D.点B到平面的距离等于线段的长.
8．如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面，，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，则( )
A.
B.存在点M，使平面SBC
C.存在点M，使直线OM与AB所成的角为
D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
三、填空题
9．在正四棱柱中,,点M是的中点,则与CM所成角的余弦值______.
10．如图，在棱长为1的正方体中，点E、F是棱、的中点，P是底面上（含边界）一动点，满足，则线段长度的最小值为________.
11．如图，在四面体中，，，M、N分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是________.
四、解答题
12．如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，.
（1）证明：.
（2）已知平面平面，求二面角的正弦值.
13．如图,在四棱锥中,侧面底面,底面为矩形,,O为的中点,.
(1)求证：;
(2)若与平面所成的角为,,求四棱锥的的体积.
参考答案
1．答案：B
解析：连接交于O，连接，
由四棱锥是正四棱锥，则平面，且.
以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由，不妨设，则，，
在中，，
则，，，，，则，
，，
则，
由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为.
故选：B.
2．答案：A
解析：由题意，，，
又，，
所以，即有，
故选：A.
3．答案：D
解析：对①,如图,
连接BD,,,
因为,所以为异面直线与BD所成角,
因为,,
取中点为O,连接AO,则
所以,①错误;
对②,命题,,的否定是:,,②正确;
对③,等价于,等价于,
所以“”是“”的充分不必要条件,③正确;
对④,因为,所以,
所以
,
解得,④正确;
故选:D.
4．答案：B
解析：作交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成与a垂直的平面，故，
如上图：当c为与a、所成平面的交线或其平行线时，b与c所成角最小为；
当c为垂直于a、所成平面的线或其平行线时，与所成角最大为，
所以b与c所成角的范围是.
故选：B
5．答案：D
解析:取AC的中点O,连接BO,则,以O为坐标原点,OB,OC所在直线分别为x,y轴,过点O且平行于的直线为z轴建立空间直角坐标系.
设,则,易知平面,则直线与平面所成的角为,
所以,解得,则,.
则,,,,
所以,,
则,
故异面直线与所成角的余弦值为.
故选D.
6．答案：B
解析：取AB,PA,PC中点为O,M,N,连接MO,OC,MN,NO，由于和均为等边三角形，
所以,故为二面角的平面角，即，
由于,为等边三角形，故，进而,
又,
由余弦定理可得,
由于,所以即为直线PB与AC所成角或其补角，
所以直线PB与AC所成角的余弦值为，
故选：B
7．答案：ABD
解析：对A，因为平面，且平面，
所以，
又因为为圆O的直径，且点C在圆O上，
所以，
又
所以平面
又平面
所以，故A正确；
对B，因为点O为线段中点，点M为线段中点
所以
又因为平面，且平面
所以平面，故B正确；
对C，若平面，则，又因为点O为线段中点，则，而题中并无条件说明，故C错误；
对D，由选项A的分析可知：平面，所以点B到平面的距离等于线段的长，故D正确.
故选：ABD.
8．答案：ABD
解析：依题意可知AB，AD，AS两两相互垂直，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，，设，，，，所以，所以，A选项正确.
点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为，为定值，D选项正确.
易知，，，
设平面SBC的法向量为，则令，可得，又平面SBC，要使平面SBC，
则，
解得，所以存在点M，使平面SBC，B选项正确.
，
若直线OM与直线AB所成的角为，则
，
即，，无实数解，所以C选项错误.故选ABD.
9．答案：或
解析：不妨设,以点A为坐标原点,
AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、,
则,,
所以,.
因此,与CM所成角余弦值为.
故答案为:.
10．答案：
解析：如图所示：
连接，，易知，，故，
，故平面，故，，
故平面，故P在线段上，故线段长度的最小值为.
故答案为：.
11．答案：/
解析：取的中点E，连接，，因为M为的中点，N为的中点，所以且，且，
所以即为异面直线与所成的角或其补角，
又，，，
所以，，所以，所以，
所以为等腰直角三角形，所以；
故答案为：
12．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：设O为的中点，连接，，，.
因为，所以.
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则.
又，所以平面.
因为平面，所以.
因为，，所以平面.
因为平面，所以，所以四边形为菱形，即.
（2）因为平面平面，且平面平面，，
所以平面.
以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设.
则，，，，，
可得，，.
设平面的法向量为，则
令，则，，可得.
设平面的法向量为，则
令，则，，可得.
，故二面角的正弦值为.
13．答案：(1)证明详见解析;
(2).
解析：(1)证明：连接,因,O为的中点,故.
侧面底面,侧面底面,侧面,
平面,因为平面,
,
,,,平面, 平面,
,又,,,平面,
故平面,所以.
(2)在矩形中,由(1)得,所以,故.
侧面底面,侧面底面,
因为底面为矩形,所以,平面,
平面,平面,,
为直线与平面所成的角,
,,,
连接,则,所以平面,
为四棱锥的的高,
在中,,, ,
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