2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.6.2 直线与平面垂直（含解析）

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2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.6.2 直线与平面垂直
一、选择题
1．若直线平面,则下列说法正确的是( )
A.l仅垂直平面内的一条直线 B.l仅垂直平面内与l相交的直线
C. l仅垂直平面内的两条直线 D.l与平面内的任意一条直线垂直
2．如图,三棱锥中,平面ABC,,且为边长等于2的正三角形,则DA与平面DBC所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
3．设l是直线，，是两个不同平面，则下面命题中正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
4．已知四面体中，，，点E在线段上，过点A作，垂足为F，则当的面积最大时，四面体外接球的表面积与四面体外接球的表面积之比为( )
A. B. C. D.
5．正方体中，与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为( )
A.1 B.2 C. D.
二、多项选择题
7．如图，已知是各条棱长均等于1的正三棱柱，D是侧棱的中点，下列结论正确的是( )
A.AC与平面所成的角的正弦值为
B.平面与平面所成的角是
C.
D.平面平面
8．已知四边形ABCD为等腰梯形,,l为空间内的一条直线,且平面ABCD,则下列说法正确的是( )
A.若,则平面ABCD
B.若,则
C.若,,则平面ABCD
D.若,,则平面ABCD
三、填空题
9．在棱长为1的正方体中,M,N分别为线段和上的动点,且,则MN的最小值为__________.
10．将正方形ABCD沿对角线AC折叠成直二面角,则此时BD与平面ABC所成角的大小是_____________.
11．在直四棱柱中，底面ABCD为正方形，且边长为3，与底面所成角的正切值为，则该四棱柱的侧棱长等于_____________.
四、解答题
12．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,,,,.
（1）求证:平面PAB;
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
（3）在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD？若存在, 求的值;若不存在,说明理由.
13．如图，在四棱柱中，二面角，均为直二面角.
（1）求证：平面；
（2）若，，二面角的正弦值为，求的值.
参考答案
1．答案：D
解析：若直线平面,则l与平面内的任意一条直线都垂直.
2．答案：B
解析：过点A作垂直于平面BCD的直线,垂足为O,利用等体积法求解AO.,由此解得,DA与平面DBC所成角为,所以,故选B
3．答案：B
解析：A：若，，则或相交，故A错误；
B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确；
C：若，，则或，故C错误；
D：若，，则或或，故D错误；
故选：B.
4．答案：C
解析：由题意可知，四面体中，
设，则，由等面积法可知，，.
由已知得平面，故；
因为，，故平面.
故，，
故，当且仅当，即时取等号，
此时四面体外接球的半径R满足，而四面体外接球的半径满足，故所求比值为.
故选：C.

5．答案：D
解析：试题分析：因为，所以与平面所成角的余弦值等价于与平面所成角的余弦值.设正方体棱长为a，易知平面且设垂足为E，所以即为所求角.由已知可得，从而，所以.故选D.
6．答案：D
解析：由题意知为正三角形，因为，所以.如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则，，，于是，所以.过点P作，垂足为G.易知，，平面PEF，且，所以平面PEF.又平面PEF，所以.又，平面，，所以平面ABCD，所以PG为四棱锥的高.
由，得.故选D.
7．答案：ACD
解析：对A，设点C到平面的距离为h，易知到平面ACD的距离为底面的高为，
由，可得，由，，，所以，由，解得，与平面所成的角的正弦值为，故A正确；
如图，延长交于点P，连接AP，由知C为BP中点，由为等边三角形，所以，所以为二面角的平面角，易知，故B错误；
对C，由，根据正三棱柱的性质可得平面，所以.又.因为，，平面，所以平面，所以，故C正确；
对D，由C答案的分析可知，平面，平面，而平面，所以平面平面，故D正确.故选ACD.
8．答案：AC
解析：因为,且平面,平面ABCD,所以平面ABCD,即A正确;因为AD与BC是等腰梯形的腰,二者不平行,故若,则l与BC不平行,即B错误;因为直线AD与BC能相交,所以若,,则平面ABCD,即C正确;
因为,两者不相交,所以若,,推不出平面ABCD,即D错误.故选AC.
9．答案：
解析：设,则,其中,
作,,连接MF,NE,如图所示,
易得,,,
由得,由得,
,,,
又,,
当时,MN取最小值
10．答案：
解析：如图,取AC中点E,连接DE,BE,则,,
所以是二面角的平面角,所以,
不妨设正方形的边长为2,
,,故,
因为,,,AC,平面ABC,所以平面ABC,
所以是DB与平面ABC所成的角.所以DB与平面ABC所成的角是.
故答案为:.
11．答案：
解析：由题意可得平面，所以是与底面所成角，
因为与底面所成角的正切值为，所以，
因为底面ABCD为正方形，且边长为3，所以，则，所以，
故答案为：.
12．答案：（1）证明见解析;
（2）;
（3）存在,.
解析：（1）因为平面平面ABCD,,
所以平面PAD.
所以.
又因为,
所以平面PAB.
（2）取AD的中点O,连结PO,CO.
因为,所以.
又因为平面,平面平面,
所以平面ABCD.
因为平面ABCD,所以.
因为,所以.
如图建立空间直角坐标系.由题意得,
,,,,.
设平面PCD的法向量为,
则即
令,则,.
所以.
又,所以.
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
（3）设M是棱PA上一点,则存在使得.
因此点,.
因为平面PCD,所以平面PCD当且仅当,
即,解得.
所以在棱PA上存在点M使得平面PCD,此时.
13．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在平面内取点E，过E作直线，由于二面角为直二面角，
即平面平面，平面平面，
平面，故平面，平面，故；
同理过E作直线，由于二面角为直二面角，
即平面平面，平面平面，
平面，故平面，平面，故；
由于，不平行，故a，b不重合，，平面，
故平面；
（2）由题意可得，可以A为坐标原点，以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设，，，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，
二面角的正弦值为，故其余弦值的绝对值为，
即，即，解得，
故.
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