2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.6.3 平面与平面垂直（含解析）

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2024-2025学年高一数学人教A版必修二课时作业 8.6.3 平面与平面垂直
一、选择题
1．如图（1），在矩形中，，E是的中点，沿将折起，使点D到达点P的位置，并满足，如图（2），则下列选项错误的是( )
A.平面平面 B.平面平面
C.平面平面 D.平面平面
2．假设P是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
3．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
4．AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且,则二面角的大小为( )
A.60° B.30° C.45° D.15°
5．已知直线a，l，平面，，，则下列结论正确的有( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
6．已知m,n为不同的直线,,为不同的平面,下列命题为假命题的是( )
A., B.,
C., D.,
二、多项选择题
7．如图AB为圆O的直径,点C在圆周上（异于A,B点）,直线PA垂直于圆所在的平面,点M为线段PB的中点,则以下四个命题正确的是( )
A. B.平面PAB
C.平面PAC D.平面平面PBC
8．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中正确的是( )
A.
B.是等边三角形
C.平面平面ABC
D.二面角的平面角的正切值为
三、填空题
9．如图，在四棱柱中，底面ABCD为正方形，，，，且二面角的正切值为.若点P在底面上运动，点Q在四棱柱内运动，，则的最小值为______.
10．在四面体中，，，平面，E,F分别为线段,的中点，现将四面体以为轴旋转，则线段在平面上投影长度的取值范围是.
11．四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且，则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为__________.
四、解答题
12．如图所示,在正方体中.求证:
（1）直线平面;
（2）平面平面.
13．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为.故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，N，M分别为，的中点，且.
（1）当点A的曲率为时证明：
①平面；
②平面平面.
（2）当点A的曲率为时，若，求二面角的正弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可得，，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，平面，所以平面平面，平面平面，AB说法正确；
如图（3）取中点F，连接，交于G，则和均为等腰直角三角形，
所以，所以，即，
如图（4），连接，因为，，所以即为二面角的平面角，
设，则，在中，，F为中点，所以，
所以，所以，
所以平面平面，D正确；
因为平面平面，由于与平面不垂直，
所以平面与平面不垂直，C错误；
故选：C.
2．答案：D
解析：如图所示，取BC的中点D，连接DA，DP，则为二面角的平面角，
和都是边长为2的正三角形，
，，
为二面角的平面角.
又，，
为直角三角形，.
故答案为.
3．答案：D
解析：关于A，缺少条件，故A错误；
关于B，l与m可能异面，故B错误；
关于C，l与m可能平行，故C错误；
关于D，因为，，所以，又，记且，则，所以，所以，故D正确.
4．答案：C
解析：平面ABC,.
易得,平面PAC,
,为二面角的平面角.
在中,,
.
故选：C.
5．答案：略
解析：
6．答案：B
解析：
7．答案：CD
解析：对于A,假设,由已知可得,
又,PA,平面PAB,平面PAB,而平面PAB,则,与是锐角矛盾,故A错误;
对于B,点C是圆周上的任意一点,OC与AB不一定垂直,
若平面PAB,则OC一定与AB垂直,故B错误;
对于C,点M为线段PB的中点,点O为AB的中点,,
而平面PAC,PA 平面PAC,平面PAC,故C正确;
对于D,PA垂直于圆所在的平面,,由已知得,
且,PA,平面,平面PAC,而平面PBC,则平面平面PBC,故D正确.
故选:CD.
8．答案：ABD
解析：设等腰直角三角形的腰为a，则斜边，
D为BC的中点，，
又平面平面ACD，平面平面，，平面ABD，平面ADC，又平面ADC，，故A正确；
由A知，平面ADC，平面ADC，，
又，由勾股定理得：，
又，是等边三角形，故B正确；
为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则，又为等边三角形，连接BF，则，为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，由平面ADC可知，为直角，因此不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故C错误；
由题意知，平面BDC，过点D作于点E，连接AE，则，为二面角的平面角，设为，则，故D正确；故选：ABD.
9．答案：
解析：连接，交于E，设F是的中点，连接，.
由于，E是的中点，所以，
由于，，平面，
所以平面，由于平面，所以，，
由于E，F分别是，的中点，所以，
由于，所以，由于，平面，
所以平面，由于平面，所以，
所以是二面角的平面角，
所以，，所以，
由于，所以，
所以三角形是等腰直角三角形，所以，
由于，平面，
所以平面，且.
由于，所以Q点的轨迹是以为球心，
半径为的球面在四棱柱内的部分，
关于平面的对称点为，，
连接，交平面于P，
所以最小值为.
故答案为：
10．答案：
解析：如图，取的中点G,的中点O，连接,,,，
E,F分别是线段,的中点，，，
，，，，
则，，且，平面，平面，又平面，，，
在中，，
当四面体绕旋转时，
，平面，平面，
平面，与的垂直性保持不变，且，长度不变.
当与平面垂直时，在平面上的投影长最短为0，
此时在平面上的投影的长取得最小值，最小值为，
当与平面平行时，在平面上的投影长最长为，
此时在平面上的投影的长取得最大值，最大值为，
线段在平面上的投影长的取值范围是.
故答案为：
11．答案：或
解析：在平面ABCD上的射影为，易得.设平面PMD与平面ABCD所成角的大小为.
当M，P在平面ABCD同侧时，，.
当M，P在平面ABCD异侧时，，.
综上，平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为或.
12．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明:在正方体中,,
即四边形为平行四边形,
所以,平面,平面,
所以平面.
（2）在正方体中,
平面中,又因为平面,
所以,
又因为,,,平面,
所以平面,
又因为平面,
所以平面平面.
13．答案：（1）①证明见解析；②证明见解析；
（2）1
解析：（1）在直三棱柱中，平面，AC，平面，则，，所以点A的曲率为，
所以.
①因为，所以为正三角形.
因为N为AB的中点，所以.
又平面，平面ABC，所以，
因为，平面，所以平面.
②取的中点D，连接，.
因为N为的中点，
所以且.
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，则
由（1）知平面，则平面.
又平面，
所以平面平面
（2）当点A的曲率为时，易得，
所以，，，由勾股定理得，
又，，，平面得，平面，
平面，
所以，且，平面，
平面，
因为平面，
平面平面，即二面角的平面角为，则.
所以二面角的正弦值为1.
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