重庆市拔尖强基联盟2025届高三上学期10月联合考试数学试题（PDF版，含答案）

重庆市高 2025届拔尖强基联盟高三上 10月联合考试
数学参考答案及评分意见
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B C A D C B
3x
8.【详解】当 x 0, xe3x xe lnx x 1 ln x x a x 1恒成立， a x xe3x lnx x 1, a (x 0)恒成立.
x
不妨令 g(x) e3x ln x 1 1(x 0)，则 a g(x) .易知 exmin x 1，当且仅当 x 0时取等.x
ln x 1 xe3x (ln x 1) eln x e3x (ln x 1) eln x 3x (ln x 1)
故 g(x) e3x 1 1 1
x x x x
ln x 3x 1 ln x 1
1 2, 当 且 仅 当 ln x 3x 0 （ 该 方 程 显 然 有 解 ） 时 上 式 取 得 等
x
号. a 2,即a 2,2 .故 B.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
题号 9 10 11
答案 BC ABD ACD
11. 【详解】对于 A选项，令 x 4,则 f (4) g( 2) 2,令 x 4,则 f ( 4) g(6) 2.
g( 2) g(6) 4,A选项正确；
对于 B选项， f (x)为奇函数，则 f (x)是偶函数.但无法确定 f (0)的值,B选项不正确；
对于 C选项， f (x) g(2 x) 2, f (x) g (2 x) 0，又 f (x) g (x 1) 2，
g (x 1) g (2 x) 2, g (x) 3 关于点 ( ,1)中心对称，
2
f (x) 1 2 g (x 1) f (x)关于点 ( ,1)中心对称,C选项正确；
2
对于 D选项，又因为 f (x)为偶函数， f (x)的周期为 2,而 g (x 1) 2 f (x)，
g (x) 2 f (x 1)，
2025 k 2025 k 2025 g ( ) (2 f ( 1)) 4050 f (k 1)，
k 1 2 k 1 2 k 1 2
4
f (k 1) f ( 1 ) f (0) 1 f ( ) f (1) 4，
k 1 2 2 2
2025 k
f ( 1) 4 506 f (2025 1) 2024 f (2023) 2024 f (3) 2025.
k 1 2 2 2 2
2025
g (k ) 2025, D选项正确.
k 1 2
数学答案 第 1页 共 5页
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
题号 12 13 14
答案 2024 25 112
8
1
14.【详解】设 t f (x)，考虑 f (t) t的根，由图像知有 16个根，分别设为
2
t0 , t1, t2 , t3, t4 , t5, t6 , t7 , t8, t9 , t10 , t11, t12 , t13, t14 , t15，根据图像知：
t0 0,0 t1 1,1 t2 , t3 2,2 t4 , t5, t6 , t7 4,4 t8, t9 , t10 , t11, t12 , t13, t14 , t15 8，
再考虑 f (x) ti ,0 i 15，分别作出直线 y ti，可知原函数共有8 16 2 12 4 8 8 4 112个
零点.
四、解答题：本题共 5题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13分）
解：（1）设数列 an 公差为 d，又 a1,a2 ,a 4
2
3 成等比数列，所以 a
2
2 a1 a3 4 a1 d a1 a1 2d 4 ，
（2分）
2
又 a1 1，即 1 d 5 2d ，解得 d 2或 d 2（舍），所以 an 1 n 1 2 2n 1 . （5分）
（2）可知bn 2
an 2 4n 1，则 S (a a 2 2 n （13分）n 1 2 an ) (b1 b2 bn ) n (4 1)3
16．（本小题满分 15分）
2
（1）因为调查的女生人数为： 100 40，所以，调查的男生人数为100 40 60 ，于是可完成 2 2列2 3
联表如下：
心流 无心流 总计
女生 35 5 40
男生 45 15 60
合计 80 20 100
（3分）
零假设为H0 ：在创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关.
2 100 (35 15 45 5)
2 75
根据列联表中的数据，可得： 3 3.841 x ， （5分）
80 20 40 60 32 0.05
根据小概率值 0.05的 2独立性检验，没有充分证据推断H0 不成立，
因此可以认为H0 成立，即创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关； （7分）
数学答案 第 2页 共 5页
（2）当 k=8时 p(k)的值最大， （8分）
78! (78 k)!
1 C
k Ck
p(k)= 78 78 kk k =1
k !(78 k)! k !(78 2k)!
(80 2k) (79 2k)80! (80 k)! =1 （k=4,5,6,7,8）， （12分）C80C80 k 80 79
k !(80 k)! k !(80 2k)!
p(k 1) p(k) (80 2k) (79 2k) (78 2k) (77 2k) 314 8k = （14分）
80 79 80 79 80 79
由 4 k 8可知， p(k 1) p(k)，即 p(k)为增函数，
所以当 k=8时 p(k)的值最大. （15分）
17．（本小题满分 15分）
解：（1）选择条件①， a b sin A C a c sinA sinC ，则 a b sinB a c sinA sinC ，（1分）
由正弦定理可得 a b b a c a c ，即 a2 b2 c2 ab， （3分）
cosC a
2 b2 c2 1 π
所以 ，由C 0,π ，所以C ． （6分）
2ab 2 3
sin π π 1 π π π 1 π 1选择条件②， C
cos C sin C cos 2
6
，即
3 4 2 3
C ，所以 cos C ，
3 4 3 4
（3分）
由C
π
0, π , C π 4π ，则 cos C
π 1 π 2π π
3 3 3 3
，所以C ，则C ． （
2 6
分）
3 3 3
（2）在VABC tanA 5 3 sinA 5 3 5 3 cos A 11sinA sinA 5 3中，因为 ，所以 ，所以 ，故得 cos A，
11 cos A 11 11
而在VABC中， sinA 0恒成立，故得 cos A 0，因为 sin2A cos2 A 1 5 3，所以 ( cos A)2 cos2 A 1，
11
解得 cos A
11
5 3， sin A . （8分）14 14
VABC 10 3 1 5 3因为 面积为 ，所以 bc 10 3，解得bc 56， （9分）
2 14
π 1 3
由上问得C ，故 ab 10 3，解得 ab 40， （10分）3 2 2
sin B sin(A C) 5 3 1 11 3 4 3 1 4 3而 ，所以 ac 10 3，解得ac 35， （11分）
14 2 14 2 7 2 7
综上可得 a 5,b 8,c 7 (负根舍去)， （12分）

设CD d，CA b，CB a，由平面向量基本定理定理得 d 2 1 a b， （13分）
3 3
2
所以 d 1 2

(4 a 4 a b 1
2 244
b ) ，故 CD的长度为 2 61 ； （15分）
9 2 9 3
18.（本小题满分 17分）
（1）由 x2 y2 4，令 y 0得 x 2，不妨令 A 2,0 ,B 2,0 ， （1分）
x2 y2
则可设椭圆C的标准方程为 2 1 0 b 2 ， （2分）4 b
数学答案 第 3页 共 5页
2
椭圆C 1过点（ 3, ）,所以椭圆C的标准方程为 x y2 1； （4分）2 4
(2)①解：显然直线 l与 l2垂直，设直线 l : x ty d，则 k2 t （5分）
直线 l与椭圆交于M x1, y1 ,N x2 , y2 ，
2 2
由于直线 l2 : y k

2x平分直线 l与圆O的交线段，则有
x
k t, 1
4 y1 4，
2 2 2
x2 4 y2 3
于是 x x x1 x2 4 y y y1 y 2 ， （7分）1 2 2 1 2 2
y1 y2
由于 t x 1 x2 ,k 2 ，则 k
1
t，则 1 k 1 . （10分）
1 x x 1y y 1 2 4 4 k1 2 2
2
OH 3 3 3 5
②由题可知 ,则 S
OD 2 EHG
S EDG S DEFG ,易知 SEFGH S2 4 4 DEFG （11分）
x2 4 y2 4
令 ，得 x
4
，则直线 l1与椭圆交线长为2 | EG | 2 k
2 4
1 1 ， （13分）
y k
2
1x 4k1 1 4k1 1

同理可得直线 l2与椭圆的一个交点D
4
, k
4 ，
4k
2 1 2 4k 2 1 2 2
k 4 31 k2 k
4
D l 4k
2
2 1 4
2 4k 22 1则 到直线 1的距离d ，
k 21 1 k
2
1 1
所以四边形面积 S | EG | d 6k DEFG 2 ， （15分）
4k 21 1 4k 22 1
当 k2 0时，四边形不存在，
当 k 0时， S 6 122 ， DEFG
2 17 1 5k2 4 k 22
5
所以四边形面积的最大值 SEFGH S DEFG 3，在 k2 1时取到. （17分）4
19.（本小题满分 17分）
解：（1）由题：不妨设 g(x)函数图象上任意一点坐标为 (x0 , y0 ),则其关于直线 x 1的对称的点 (2 x0 , y0 )在
f (x)的图象上，则 y0 g(x0 ) f (2 x0 ) ln(x0 1) cos x0 , g(x) ln(x 1) cos x. （4分）
（2）不妨令 h(x) g(x) ax 1 ln(x 1) cos x ax 1,(x 1)，则 h(x) 0在 ( 1, )上恒成立，
注意到： h(0) 0，且 h(x)在 x ( 1, )上是连续函数，则 x 0是函数 h(x)的一个极大值点，
h (0) 0，又 h (x) 1 sin x a,h (0) 1 a 0 a 1.
x 1 （7分）
数学答案 第 4页 共 5页
下证：当 a 1时， h(x) 0在 x ( 1, )上恒成立
1 x
令 (x) ln(x 1) x(x 1)， (x) 1 .
x 1 x 1
当 x ( 1,0)时， (x) 0, (x)单调递增；当 x (0, )时， (x) 0, (x)单调递减.
(x) (0) 0,即： ln(x 1) x在 x ( 1, )上恒成立；又 cos x 1 0
h(x) 0 a的取值为1. （9分）
3 2 g(x) 1 x, g(1) 1 1 g(1 1（ ）由（ ）知： 则 ， ) 1.
i i i i （10分）
2n
g(1) ( 1 1 1 1 ) n
i n 1 i n 1 n 2 2n 1 2n （11分）
又由（2）知： ln(x 1) x在 ( 1, )恒成立，则 ln x x 1在 (0, )上恒成立且当且仅当 x 1时取
等.
x n则令 (0,1),n N *则 ln n 1 1 , ln n 1 ln(n 1) lnn.
n 1 n 1 n 1 n 1 n （15分）
1 1
1 ln(n 1) lnn ln(n 2) ln(n 1) ln(2n) ln(2n 1) ln 2.
n 1 n 2 2n
2n
g(i) ln 2 n.证毕. （17分）
i n 1
数学答案 第 5页 共 5页