2024-2025学年浙江省四校高一上学期10月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年浙江省四校高一上学期10月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，，那么，，，的大小关系是( )
A. B.
C. D.
5.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是( )
A. B. C. D.
7.已知关于不等式的解集为，，则( )
A.
B. 点在第二象限
C. 的最大值为
D. 关于的不等式的解集为
8.若数集，具有性质对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则( )
A. “权集”中一定有 B. 为“权集”
C. 为“权集” D. 为“权集”
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：“今有物，不知其数三三数之，剩二五五数之，剩三七七数之，剩二问：物几何”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为( )
A. B. C. D.
10.根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是( )
A. 自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．
B. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定用第一种方式购买比较经济．
C. 某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，则这两年的平均增长率等于．
D. 金店使用一架两臂不等长的天平称黄金一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡最后将两次称得的黄金交给顾客记顾客实际购得的黄金为，则．
11.若正实数满足，则下列说法正确的是( )
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最小值为 D. 有最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游冰比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助韦恩图，可知同时参加田赛和径赛的有 人
13.甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本以元为单位由可变部分和固定部分组成可变部分与速度千米时的平方成正比，比例系数为，固定部分为元为使全程运输成本最小，汽车的速度是 千米时．
14.若一个三角形的三边长分别为，，，记，则此三角形的面积，这是著名的海伦公式已知的周长为，，则的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小并求出所用篱笆长度的最小值．
16.本小题分
已知集合、集合．
若，求
设命题命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，为梯形，其中，，设为对角线的交点表示平行于两底且与它们等距离的线段即梯形的中位线，表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段．
试研究线段，，，与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系你能用基本不等式证明所得到的猜测吗
18.本小题分
已知二次函数
若的解集为，解关于的不等式
若且，求的最小值
若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值．
19.本小题分
已知集合为非空数集，定义：，实数，可以相同
若集合，直接写出集合、
若集合，，且，求证：
若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．
参考答案
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15.解：如图所示：
设，上底，
分别过点，作下底的垂线，垂足分别为，，
则，，
则下底，
该等腰梯形的面积，
所以，则，
所用篱笆长为，
，
当且仅当，即，时取等号．
所以当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为．
16.解：由题意可知 ，
若，则， 此时或．
命题 是命题 的必要不充分条件，集合 是集合的真子集，
当 时， ，解得 ，
当 时， 等号不能同时成立，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 ．

17.解：因为是梯形的中位线，所以，
因为梯形与梯形相似，所以，，
因为∽，∽，所以，同理可得，
所以，
因为，
设这三个梯形的高分别为，，，且，
所以，
所以．
所以，
所以，
由图可知，，即．
证明：显然．
，
，，．
所以．
18.解：由已知 的解集为 ，且 ，
所以 是方程 的解，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以不等式 可化为 ，
所以 ，
故不等式 的解集为 ．
因为 ，
所以
因为 ，所以 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时等号成立，
即当且仅当 ， 时等号成立；
所以 的最小值为 ；
因为对任意 ，不等式 恒成立，
所以 ， ，
所以 ， ，
，
令 ，则 ， ，
所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立，
即当且仅当 ， 时等号成立，
所以 的最小值为 ．

19.解：由已知，则，
由于集合，，
则集合的元素在，，，，，，中，
且，，而，故A中最大元素必在中，
而为个数中的最大者，故即，故A，
故中的个元素为，，，，且，，与，，重复，
而，故即，而，故或，若，则，，与题设矛盾故即
设满足题意，其中，
则，
所以，
因为，，
因为，
所以，中最小的元素为，最大的元素为，，
所以，
，实际上当时满足题意，
证明如下：设，，
则，，
依题意有，解得，的最小值为，
于是当时，中元素最多，即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值为．
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