植树问题
【教学内容】
人教版小学数学五年级上册数学广角《植树问题》P104-P106例1、例2、例3。
【教材分析】
本册的“数学广角——植树问题”包含了三个例题，主要是渗透“一一对应”“数形结合”的思想方法，通过现实生活中一些常见得实际事例，让学生从中发现一些规律，经历抽取其中的数学模型的过程，然后再用发现的规律解决生活中的一些简单实际问题。在解决这些问题的过程中能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略，培养学生解决问题的能力。
由于这三种植树情况的数学模型、思考方法、解题思路都具有相当的一致性。为了让学生对于植树问题有个整体的感悟，建立相对完整的知识结构，因此尝试舍弃按顺序教学和对植树问题三种情况的平均发力的教学设计，可以将它们分析、重组、整合，并形成相对完整的教学单元。
本节课的教学内容定位在让学生经历知识的形成的过程，围绕“棵树”就三种现象不断地分析、比较,在学生头脑中建立棵树和间隔数“一一对应”的数学模型。
【学情分析】
从学生思维特点来看，五年级学生仍然以形象思维为主，但抽象逻辑思维能力也有了初步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、类比迁移的数学活动经验。植树问题这个内容本身具有很高的数学思维和很强的探究空间，既需要老师的有效引导，又需要学生的自主探究。因此，在教学时，我会选择让学生有充分的自主探究时间，合作交流的方式。
【教学目标】
知识与技能：让学生通过自主探究发现颗树与间隔数的关系，并利用这个关系解决生活中的实际问题。
过程与方法：让学生自主探究、合作交流等方法探究三种植树情况的棵树和间隔数的关系，活动中培养学生合作意识，培养学生的自主探究的能力，渗透“一一对应”和“数形结合”的思想。
情感态度价值观：通过自主探究、合作交流的实践活动激发学生热爱数学的情感。
【教学重点】
发现和理解植树问题中棵数和间隔数的三种关系，建构植树问题模型。
【教学难点】
应用植树问题的模型，灵活解决一些生活中的实际问题。
【教学过程】
故事情境导入课题（3 分钟）
师：同学们，你们知不知道尚美楼前面这栋在建什么呀？（体育馆，篮球馆）是的，现在我们学校准备在篮球馆的北面的小路上做一些绿化，想请我们班的同学做小小的设计师，做一个植树方案。这节课我们结合植树问题来设计我们的植树方案。（板书课题）
【设计意图：以校园小路植树绿化引导学生做一名小小设计师为契机，激发学生参与的积极性，让学生感受数学就在身边，生活中处处有数学，使学生体会数学与生活的密切联系。】
师：先来读一读设计要求。读“在一条长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵树，可以怎么栽，一共要栽多少棵树？”你知道了哪些信息？
生：这条小路一共长20米，每隔5米栽一棵树。
师：每隔5米什么意思？
生：树与树之间的距离都是5米。
师：也就是每两棵数之间有5米这么长的间隔距离，这5米在数学上叫“间距”。（板书：间距）也就是植一棵树，间距5米，再植一棵树。
师：现在拿出设计单，独立完成。做之前，谢老师给你们2点学习建议：第一，解决问题的过程中，如果遇到了困难，可以画一画图，因为画图可以帮助我们把思路变得更加清晰；第二，如果你有不同的植树方案，可以把它们都记录下来。
师：清楚了要求就开始吧。
【设计意图：对例题进行改编，把例题中的“100米”改成“20米”，把“两端都栽”这个条件隐藏掉，开放学生的思维，引导学生通过画图的方法验证自己的发现的三种植树情况。这样改编例题渗透“化繁为简”的数学思想。学习探究单还提出了学习要求：尝试画图可以帮助你思考，引导学生学生用“数形结合”方法去解决问题。】
自主探究，初步建模（7分钟）
①自主设计植树方案（4分钟）
②四人小组交流分享（3分钟）
师：现在大家可以把自己的植树方案在四人小组里面交流交流。
（学生小组内交流。教师巡视，对各个学习小组进行必要的指导。）
师：刚才大家交流得特别投入，倾听的同学表现也非常棒！现在，我们先来看一看第一种植树方案。
【设计意图：改编这个题之后，这个内容具有很高的数学思维和很强的探究空间，需要给予学生充分的探究空间，自主探究后让学生合作交流，在交流过程中产生差异化的反馈，成为后续探究的资源，在后续小组汇报过程中引发有效的聚焦思辨、交流讨论，不同层次的学生有可能带着不同的数学理解走进课堂。】
全班分享（16分钟）
（1）两端都栽
师：谁来说说这种植树方案。请你来。把你的想法在黑板上也植植看。
生：（引导学生说：我先在最开始的地方植一棵树，然后隔5米，再栽一棵树.....最后还要植1棵树。20米的总长除以间距5米等于4个间隔数。因为两端都栽了，4个间隔的基础上加1，等于5棵树。）
师：他的植树方案是这样的，列的算式是这样的。大家还有疑问想问他吗
生：这5棵是怎么来的？
师：（引导学生结合图来说每个算式的含义。）这里的20÷5=4，表示什么意思？
生：4个间距。
师：也就是4个间隔。
结合这幅图指一下哪4个间隔。（师指着黑板让生说）
师：4个间隔加1，怎么就成了5棵树？
生：4个间隔就对应着4棵数。
（这是第1棵数，对应第1个5米，这是第2棵树，对应第2个5米，这是第3棵数，对应第3个5米，这是第4棵树，对应第4个5米，前面4个间隔对应4棵数，最后这里还可以栽一棵树）
我们结合线段图来看看，也就是说1棵树，就对应着后面的这1个间隔。间隔和树是一一对应的！（结合黑板上的线段图，用4个箭头对应后面的4棵树，用红笔去标记）再加上最后这1棵，一共就要栽5棵。
师：你们给这个植树方案起个名字吧。
生：两端都栽。
师：挺好的这种情况起点和终点都栽树的情况就叫做两端都栽。（贴板书：两端都栽）
师：看，有了图，找到了对应关系，有了算式，有了深入的分析，两端都栽的植树方案我们已经梳理清楚。我们再来看看第二种植树方案是怎么样的？（投影4棵这种情况）。
【设计意图：“植树问题”一课，在“两端都栽”“只栽一端”“两端不栽”的三种情况中，重点引导学生通过合作学习，深入理解第一种情形。学生在第一种情形的研究上有了充分的谈论与合作，加上教师必要的关键性引导与充分地质疑、对话与交流，让学生充分感悟“一一对应”“数形结合”的数学思想。以学生为主体、以学生的学为主体的教学观，突出学生、淡化教师，提高学生的合作学习能力。】
（2）只栽一端
师：请你来说说你的想法。请你。也把你的想法在黑板上植植看。边植边说。（引导学生说：我先在最开始的地方不植树，然后隔5米，再栽一棵树.....。）
生：20÷5=4，这里的4表示4个间隔。因为一个间隔就有1棵树，4个间隔就对应有4棵树。起点的地方不栽，这样一个间隔对应一棵树，4个间隔就是4棵树。（生拿红笔标注）
师：他的植树方案是这样的，列的算式是这样的。大家还有疑问想问他吗
生：明明最后这里可以栽树，为什么你不栽？
师：现实生活中有这种实际情况吗？（学生跑偏就提示这个问题）
生：我觉得这里可以放一个悦娃娃雕像很好看，这棵就不种了。（板书贴：悦娃）
师：哇，我也很喜欢你的方案，突出了我们学校的特色。我会把你的植树方案交给学校的。像这种路的一端不栽树的，把这种植树方案叫做只栽一端。（贴板书：只栽一端）我们再来看看第三种植树方案是怎么样的？
两端不载
请你上来。
师：也把你的想法在黑板上植植看。
生：我是头和尾都不植树。
生：开始这里放一个风铃悦娃（板书贴：风铃悦娃），隔1个间隔，种第1棵树，再隔1个间隔，种第2棵树，隔1个间隔，种第3棵树，再隔1个间隔，最后放个紫荆悦娃（板书贴：紫荆悦娃）。
师：4-1=3是什么意思？
生：因为1个间隔就对应1棵树，4个间隔就对应4棵树，可是，最后这个间隔，后面没有树对应。所以棵树应该比间隔数少一，所以4-1=3（棵）
师：说得真好，那这种情况我们就叫它“两端不栽”。（板书：两端不栽）请回！师：今天你们提交的这三种植树方案都各有各的特色，回头谢老师一定会上交给学校的。
【设计意图：学生在第一种情形的研究上有了充分的谈论与合作，为学生的类比迁移和举一反三题提供可能。在接下来的第二种、第三种情形中，学生表现出强大的迁移能力，通过质疑和生生互动，构建“只栽一端”和“两端都栽”的情况。】
对比分析，打通联系（4分钟）
独立思考，四人交流（1分30秒）
师：回顾刚才的学习过程，比较黑板上的三种情况和算式，这三种情况的棵数和间隔数有怎样的对应关系呢？先自己独立思考。（过30秒左右）现在4人小组交流交流。
生1：两端都栽的情况，通过一一对应，一棵树对应一个间隔。最后还多出1棵数。所以棵数＝间隔数＋1。（板书：棵树＝间隔数+1）
生2：同样地一棵树对应一个间隔一一对应后，所有的树都对应了一个间隔。所以，只栽一端的情况棵数＝间隔数（板书：棵树＝间隔数）
生3：两端都不栽，一一对应后，还多出一个间隔，所以棵数＝间隔数－1。（板书：棵树＝间隔数-1）
师：这么多公式需要死记硬背吗？根据一一对应（板书：一一对应）就能很好的理解这三种情况了。同学们，你们觉得今天的学习是为了教大家种树吗？（不是）那么种了半天树，我们究竟想通过种树干什么呢？（通过种树发现种树问题中的规律）（此时指着黑板的三个规律的板书）
巩固新知，应用深化（9分钟）
1.同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），一共要栽（ ）棵？
A.19棵 B.20棵 C.21棵 D.42棵
【设计意图：第一题是基础题，是书本106页的例1，确定是两端都栽的情况，引导学生利用两端都栽的规律去求棵树。】
大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆之间的小路两旁栽树（两端不栽），每相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵树？
【设计意图：第二题，是书本107页的例2,引导学生找出这题的关键词，“两端不栽”、“两旁栽树”，学生利用两端不栽的规律求出小路一边的棵数，理解两旁栽树和一边栽树的不同，用一边的棵数乘2求出两旁的棵数。】
生活中的植树问题。
【设计意图：第三题，出示生活中的植树问题，引导学生用数学的眼光观察生活，像排队，剪绳子，衬衣的扣子，还有像钟声这种听得见的生活现象都与“间隔”有关，这类问题在数学上统称为“植树问题”。】
4.同学们在全长（ ）米的小路（ ）边栽树，每隔（ ）米栽一棵树，如果（ ），一共要栽多少棵树？
【设计意图：第四题：这是一道拓展延伸题。由学生来补充条件，确定植树方案，发散学生的数学思维，培养学生的创造力。】
课堂小结，梳理内化（1分钟）
师：这节课你有什么收获？
期待同学们的发现与分享，那这节课就上到这，下课！(共15张PPT)
人教版小学数学 五年级上册
植树问题
在一条长20米的小路栽树，每隔5米栽一棵树，可以怎么栽，一共要栽多少棵树？
20米
间距
每隔5米
20米
20米
20米
在一条长20米的小路一边栽树，每隔5米栽一棵树，可以怎么栽，一共要栽多少棵树？
20米
间距
每隔5米
20米
20米
在一条长20米的小路一边栽树，每隔5米栽一棵树，可以怎么栽，一共要栽多少棵树？
20米
间距
每隔5米
5米
在一条长20米的小路一边栽树，每隔5米栽一棵，可以怎么栽，一共要栽多少棵树？
1.可以画图分析，帮助你思考。
2.如果有不同的植树方案，都可以记录下来。
友情提醒
两端都栽
只栽一端
两端不栽
比较这三种情况棵数与间隔数有怎样的对应关系。
两端都栽
只栽一端
两端不栽
同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），一共要栽多少棵？
A.19棵 B.20棵 C.21棵 D.42棵
100÷5=20 （个） 20+1=21（棵）
大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆之间的小路两旁栽树（两端不栽），每相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵树？
60÷3=20（个）
20－1=19（棵）
19×2=38（棵）
答：需要38棵树苗。
4.同学们在全长（ ）米的小路（ ）边栽树，每隔（ ）米栽一棵树，如果（ ），一共要栽多少棵树？
你有什么收获
