2024-2025学年北师大版（2012）九年级数学上学期期中达标测评卷（B卷）（含解析）

北师大版（2012）九年级数学上学期期中达标测评卷（B卷）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图,在矩形中,对角线,交于点,以下说法错误的是( )
A. B. C. D.
2.下列各组中的四条线段成比例的是( )
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
3.嘉淇在判断一元二次方程根的情况时,把m看成了它的相反数,得到方程有两个相等的实数根,则原方程根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个相等的实数根 D.有一个根是3
4.四个小朋友坐在如图所示的圆桌上做游戏,设4个座位分别为①、②、③、④,甲、乙两个小朋友先到,2人等可能地坐到①、②、③、④中的2个座位上,则甲、乙两个小朋友相邻而坐的概率为( )
A. B. C. D.
5.在中,D.F.E分别在边BC.AB.AC上一点,连接BE交FD于点G,若四边形AFDE是平行四边形,则下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
6.某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施.经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价( )
A.10元 B.15元 C.20元 D.25元
7.如图,在矩形中,,,以B为圆心,适当的长为半径画弧,交,于M,N两点；再分别以M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线,交于点F,则的长为( )
A.3 B. C.5 D.
8.某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是( )
A.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D.从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花
9.新定义,若关于x的一元二次方程：与,称为“同族二次方程”.如与是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”.那么代数式能取的最小值是( )
A.2011 B.2013 C.2018 D.2023
10.如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接、、，交于点F.若，，则的长为( )
A. B. C. D.
11.如图,,,与交于点O,.若,则线段的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
12.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,,E为OC上一点,,连接BE,过点A作于点F,与BD交于点G,则BF的长是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.从-2,-1,2这三个数中任取两个不同的数相乘,积为正数的概率是______.
14.一元二次方程的根是__________.
15.如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为.连接，，，，当__________时，四边形为正方形.
16.若，，则__________.
17.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：
①；
②；
③；
④；
⑤若，则.
你认为其中正确的是__________.（填写序号）
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）如图,有背面完全相同正面分别是黑桃2、黑桃3、黑桃4和梅花5的四张扑克牌、一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球,上面分别标有数字1,2,3,4.张莉和李涵利用扑克牌与小球做游戏,游戏规则是：将四张扑克牌背面朝上洗匀,张莉从中抽取一张,记下牌面数字；李涵从口袋中随机摸出一个小球,记下小球上的数字,若两人记下的数字同为奇数则张莉胜,两人记下的数字同为偶数则李涵胜,其他情况视为平局.
(1)张莉从这四张扑克牌中随机抽取一张,求抽到的扑克牌牌面数字小于的概率；
(2)请用画树状图或列表法说明这个游戏规则对双方是否公平？
19.（8分）如图，在菱形ABCD中，于点E，于点F，连接EF.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
20.（8分）如图，在中，于点E，点F在BC的延长线上，且，连接AC，DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若，，，求的值.
21.（10分）解方程时,我们可以将视为一个整体,设,则,原方程化为,解此方程,得,,
当时,,,∴；
当时,,,∴.
∴原方程的解为,,,.
以上方法就叫换元法,达到了降次的目的,体现了转化的思想.
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2).
22.（12分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点E.
（1）作于点F，求证：点F是线段BC的二等分点；
（2）连接DF交AC于点G，作于点H，求证：点H是线段BC的一个三等分点；
（3）你能在图中作出线段BC的一个四等分点吗？
23.（13分）如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，于点E，与点F.
（1）求证：；
（2）若点G是BC中点，连接BE并延长交AD于点H，求的度数；
（3）若正方形ABCD的边长是2，点P是BC边上不同于G的另一点直接写出的最小值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：∵四边形是矩形,
∴,,,
∴A、B、C说法正确,不符合题意,
根据现有条件无法证明,
∴D说法错误,
故选D.
2.答案：D
解析：A.，四条线段不成比例；
B.，四条线段不成比例；
C.，四条线段不成比例；
D.，四条线段成比例.故选D.
3.答案：A
解析：嘉淇在判断一元二次方程根的情况时,把m看成了它的相反数,得到方程有两个相等的实数根,
,即,
原方程的判别式,即原方程有两个不相等的实数根,
故选：A.
4.答案：B
解析：画树状图如下：
共有12种等可能的结果,其中甲与乙相邻而坐的结果有8种,
甲与乙相邻而坐的概率为.
故选：B.
5.答案：A
解析：∵四边形AFDE是平行四边形,
∴,.
∴.
故A错误；
∵,
∴.
故B正确；
∵,
∴,.
∴.
故C正确；
∵,,
∴,.
∴.
故D正确.
故选：A.
6.答案：D
解析：设每件衬衣应降价x元，根据题意，得，
整理，得，
解得，，
（件），（件），
商场要尽快减少库存，
，即每件衬衣应降价25元.
故选D.
7.答案：C
解析：由作图步骤可得：是的角平分线,
如图,过F作于G,
由矩形性质可得：,,
∴,
由角平分线的性质可得：,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴
故选：C.
8.答案：C
解析：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
D、从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意；
故选：C.
9.答案：B
解析：与为同族二次方程.
,
,
∴,
解得：.
,
当时,取最小值为2013.
故选：B.
10.答案：C
解析：在菱形中，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
∴，
四边形是菱形，
∴，，
为等边三角形，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故选：C.
11.答案：C
解析：,,
四边形是平行四边形,
,
,
,
,
,,
.
故选：C.
12.答案：A
解析：∵四边形ABCD是正方形,,
∴,.
∵,
∴.
在和中,
∵,,,
∴,
∴,
∴.
在中,,
∵,,
∴,
∴,即,
解得,.
故选：A.
13.答案：
解析：列表如下：
-2 -1 2
-2 2 -4
-1 2 -2
2 -4 -2
由表可知,共有6种等可能结果,其中积为正数的有2种结果,
所以积为正数的概率为,
故答案为.
14.答案：，
解析：，
，
，
或，
解得，.
15.答案：4
解析：四边形是菱形，，
，是等边三角形，
，
四边形是菱形，，
四边形为正方形，
，.
，即时，四边形为正方形.
16.答案：5
解析：，
，，，
，
，
，
故答案为：5.
17.答案：①②③④
解析：（1）四边形ABCD和四边形BGEF是正方形，和都是等腰直角三角形，，，①正确，符合题意；②和都是等腰直角三角形，.又，，②正确，符合题意；③，，，③正确，符合题意；④，，，，.，，④正确，符合题意；⑤，设，，，.在中，由勾股定理知.，，，，，⑤错误，不符合题意.故答案为①②③④.
18.答案：(1)
(2)公平,解析如下
解析：(1)∵扑克牌为：黑桃2、黑桃3、黑桃4和梅花5四张,其中小于5的扑克牌为：黑桃2、黑桃3、黑桃4
∴随机抽取一张,求抽到的扑克牌牌面数字小于5的概率为：.
(2)树状图如下：
∴张莉两次抽到奇数的结果为：,,,共4种,获胜的概率为：；
李涵两次抽到偶数的结果为：,,,共4种,获胜的概率为：；
两个人打成平手的结果有8种；
∴张莉和李涵获胜的概率相同,游戏公平.
19.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：四边形ABCD是菱形，
，，
又，，，
在与中，
，.
（2）四边形ABCD是菱形，，
，，
，，.
由（1）知，，
，
，是等边三角形，.
20.答案：（1）见解析
（2）4
解析：（1）证明：，，即.在中，且，且，四边形AEFD是平行四边形.，，四边形AEFD是矩形.
（2）四边形AEFD是矩形，，，.，，，，，，.
21.答案：(1),
(2),
解析：(1),
设,则原方程化为,
∴,
∴或(舍去),
即,
∴,；
(2),
设,则原方程化为,
∴,
∴或,
当时,可有,解得,,
当时,可有,
∵,
∴该方程无解,
∴原方程的解为,.
22.答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）证明：四边形ABCD是矩形，点E为AC的中点，.
，，，
，
，点F是BC的二等分点.
（2）证明：，，是的中位线，，.
，，，，，.
，.
点H是BC的一个三等分点.
（3）能.如图所示，过点E作于点P，连接FP交CE于点Q，过点Q作于点M，则点M为BC的一个四等分点.
23.答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明：如图1中，
四边形ABCD是正方形，，，
，，
，
，
，，
；
（2）如图1中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图2中，在BC的下方作正方形BCQT，取AB的中点O，连接OF，OQ，PQ.
在中，，，，
，
，
，
，
，
垂直平分线段QD，
，
，
，
，
的最小值为.