2024-2025学年华东师大版（2012）九年级数学上学期期中达标测评卷（A卷）（含解析）

华东师大版（2012）九年级数学上学期期中达标测评卷（A卷）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若二次根式有意义，则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A. B. C. D.
3.下列各式中是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
4.关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
5.如图，已知在中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，，，且，则( )
A. B. C. D.
6.设方程的两根为a，b，则方程的根为( )
A.， B.a，b C.， D.c，d
7.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
8.如图，矩形ABCD中，，，动点E从A出发，以的速度沿AB向B运动，同时动点F从C出发，以的速度沿CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止运动，若EF的长为，则点E的运动时间是( )
A. B. C.或 D.
9.《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为( )
A.360步 B.270步 C.180步 D.90步
10.关于x的方程有实数根,方程的两根分别是、,且,则m值是( )
A. B. C. D.
11.如图，在等腰直角三角形中，，.点D是上一点，，过点D作，交于点E.则为( )
A. B. C. D.
12.如图，的顶点A在y轴上，B，C两点都在x轴上，将边AB向右平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为O，线段DO交AC于点，若，则点D的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.四条线段a、b、c、d成比例，其中，，，则b的长为_________cm.
14.若,化简：______.
15.如图,要设计一幅宽20cm,长30cm的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,竖彩条的宽度是______cm.
16.若,则______.
17.如图中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）计算：
(1)；
(2)
19.（8分）2023年是中国共产党建党周年，全国各地积极开展弘扬红色文化，重走长征路主题教育学习活动，据了解，某展览中心今年3月份接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到万人
(1)求这两个月参观人数的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
20.（8分）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面的高度AB为，标杆FC的长为，且BC的长为，的长为，求电视塔的高ED.
21.（10分）已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a,b,若,求m的值.
22.（12分）阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如、、一样的式子，其实我们可以将其进一步化简：
(1)
(2)
(3)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用下面的方法化简：(4)
(1)请参照(3)(4)的方法用两种方法化简；
(2)化简：.
23.（13分）[问题背景]
如图1，在中，点D，E分别在AC，AB上，，，求证：.
[变式迁移]
如图2，在四边形DEBC中，，，，分别交CE，BC于点G，F，求证：.
[拓展应用]
如图3，在四边形DECB中，，，，且，直接写出的值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：根据二次根式的意义，可知其被开方数为非负数，
因此可得，即.
故选D.
2.答案：A
解析：由题意得：一株椽的价钱为文，
则可列方程为，
故选：A.
3.答案：D
解析：因为,所以A不符合题意；
因为,所以B不符合题意；
因为,所以C不符合题意；
因为不能化简,是最简二次根式,所以D符合题意.
故选：D.
4.答案：A
解析：对于一元二次方程,
,
方程有两个不相等的实数根.
故选：A.
5.答案：A
解析：，.，.，.故选A.
6.答案：D
解析：方程的两根为a，b，
，
，
，
方程的根与方程的根相同，即为c，d，
故选：D.
7.答案：C
解析：与不能合并,故A错误,不符合题意;
,故B错误,不符合题意;
,故C正确,符合题意;
,故D错误,不符合题意;
故选:C.
8.答案：C
解析：过点E作于点M，如图所示.
设运动时间为，则，，，，
.
，，，
整理，得，
解得，，经检验，均符合题意，
点E的运动时间是或.
故选C.
9.答案：A
解析：设正方形城池的边长为x步，则.，，，，即，（负值已舍去），即正方形城池的边长为360步.故选A.
10.答案：B
解析：关于的方程有实数根,方程的两根分别是、,
,,
,
,
,
,
整理得：,
解得,
,
,
故选：B.
11.答案：A
解析：过E作于F，如图：
∵，，，
∴，，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
故选：A.
12.答案：D
解析：如图，作，垂足为F，，垂足为G，.
，，.和有公共角，，.根据平移的性质可知.设，则，在中，，即，或（舍去），，点D的坐标为.故选D.
13.答案：4
解析：四条线段a、b、c、d成比例，，，，，
，，的长为.
14.答案：/
解析：∵,
∴,
∴.
故答案为：.
15.答案：
解析：设横彩条的宽度为,则竖彩条的宽度为,则
,
解得,(舍去),
∴,
∴竖的彩条宽为.
故答案为：.
16.答案：3
解析：,
,
,
,,
∴,,
∵,
∴,
故答案为：3.
17.答案：
解析：如图，设PQ，AC交于点D，过点D作于点E，
，
四边形是平行四边形，
，，
当时，PD取得最小值，即PQ最小，
当P、E重合时，PD最小，
，，，
，，
又，
，
，即，
，
.
故答案为：.
18.答案：(1)
(2)
解析：(1)
；
(2)
.
19.答案：(1)这两个月参观人数的月平均增长率为
(2)万人
解析：(1)设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
依题意得：，
解得：，(不合题意，舍去).
答：这两个月参观人数的月平均增长率为；
(2)(万人).
答：预计6月份的参观人数为万人.
20.答案：
解析：延长EA交DB的延长线于点O.，，，
，，
，.，，，，解得.
在和中，，，，，即，解得.
答：电视塔的高ED为.
21.答案：(1)证明见解析
(2)m的值为1或
解析：(1)证明：∵,
∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)∵的两个实数根为a,b,
∴,.
∵,
∴,.
∴.
即.
解得或.
∴m的值为1或.
22.答案：(1)，化简过程见解析
(2)
解析：(1)方法(3)：；
方法(4)：；
(2)
.
23.答案：[问题背景]证明见解析
[变式迁移]证明见解析
[拓展应用]
解析：[问题背景]证明：，，
，，
，.
在和中，
，
.
[变式迁移]证明：如图，延长CD，BE交于点M，则，
，
，，
，，，
，.
[拓展应用].
如图，延长CB，在CB的延长线上截取，连接DP，
易知.
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
设，则，，
，，
.