24.1 一元二次方程 课件(共19张PPT) 2024-2025学年冀教版数学九年级上册

(共19张PPT)
24.1 一元二次方程
第二十四章 解一元二次方程
1.了解一元二次方程的相关概念.
2.了解一元二次方程解的含义并会运用其解题. (重点)
3.能够根据实际问题列出一元二次方程.（难点）
学习目标
1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
一般形式：ax+b=0 (a≠0)
3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗
◆1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.
回顾旧知
一、一元二次方程的定义及一般形式
问题1 列表填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
4x2=3x
(x-1)2-9=0
x(x+2)=3(x+2)
4x2-3x=0
x2-2x-8=0
x2-x-6
4
-3
0
1
-2
-8
1
-1
-6
新课讲授
请观察下面两个方程并回答问题：
x2+2x-1=0 x2-36x+35=0
（1）它们是一元一次方程吗？
（2）与一元一次方程有何异同？
（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？
1.等号两边都是整式
2.只含有一个未知数
3.未知数的最高次数是2
特点：
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).
归纳总结
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
想一想
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项
（4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合理的名字吗？
通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？
（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须把方程化为一般形式才能进行.
（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号.
（3）二次项系数a≠0.
拓广探索
二、一元二次方程的根
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).
问题1 判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根.
x= -1,x=2是方程的根.
问题2 判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：
x2-3x+2=0 (x1=1 x2=2 x3=3)
问题3 构造一个一元二次方程，要求：
（1）常数项为零；（2）有一根为2.
x2-2x=0 （答案不唯一）.
x1=1 x2=2是方程的根； x3=3不是方程的根.
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意得
把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32+3a+a=0
9+4a=0
4a=-9
典例精析
三、列一元二次方程
问题1 某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2007年无公害蔬菜的产量比2005年翻一番，要实现这一目标，2006年和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
思考：
1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？
方程
2.如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2005年的产量为a，那么2006年无公害蔬菜产量为 ，2007年无公害蔬菜产量为 .
a+ax=a(1+x)
a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2
3.你能根据题意，列出方程吗？
a(1+x)2=2a
把以上方程整理得： .
x2+2x-1=0
在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
32
20
x
典例精析
1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2.
32x
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？
整理以上方程可得：
思考：
2×20x
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
2x2
x2-36x＋35=0
32
20
x
还有其他的列法吗？试说明原因.
(20-x)(32-2x)=570
32-2x
20-x
32
20
拓广探索
1.下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由？
x+2=5x-3
x2=4
2x2-4=(x+2)2
2.方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
不是，最高项系数为1
是
是
不是，是分式方程
解：∵方程式是一元二次方程，∴2a-4≠0，∴a≠2.
当堂检测
3. 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意得
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗
解：由题意得
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1.
拓广探索 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗
1. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).
课堂小结
3.列一元二次方程的解题步骤:
（1）审：审题要弄清已知量、未知量及问题中的等量关系；
（2）设：设未知数；
（3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的相等关系，列代数式表示等量关系中的各个量，即列出方程.