2024-2025学年浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学高二（上）段考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学高二（上）段考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.设有四边形，为空间任意一点，且，则四边形是( )
A. 平行四边形 B. 空间四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形
3.已知直线：，：，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称，则的坐标为( )
A. B. C. D.
5.如果且，那么直线不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.直线：始终平分圆：，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.当圆：截直线：所得的弦长最短时，实数( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，真命题的是( )
A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B. 两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C. 只有零向量的模等于
D. 共线的单位向量都相等
10.已知直线的倾斜角为，则的方向向量可能为( )
A. B. C. D.
11.圆：和直线：，为圆上一点，则下列说法正确的是( )
A. 若圆关于直线对称，则的最大值为 B. 若圆关于线对称，则
C. 存在实数使得圆与直线相离 D. 无论取任何实数，圆都和直线相交
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知、、是空间不共面的三个向量，是空间的任意一点，且向量满足，若在平面上，则 ______．
13.已知正方体中，，若，则 ______， ______．
14.如图，在等边三角形中，，点为的中点，点是边包括端点上的一个动点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线的方程为，求满足下列条件的直线的方程：
过点，且与平行；
过点，且与垂直．
16.本小题分
在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为，，．
求的坐标；
求四边形的面积．
17.本小题分
如图所示，在正方体中，已知是的中点．
求与所成角的余弦值；
求与平面所成角的正弦值；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知圆的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线：，直线与圆相交于，两点．
求圆的标准方程；
求直线所过的定点；
当的面积最大时，求直线的方程．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，，，，．
证明：平面平面．
若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离．
若点是的动点，上是否存在一点，使得平面，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：由题意设直线的方程为：，，
将点代入直线的方程可得：，解得，
即直线的方程为：；
由题意设直线的方程为：，
将点代入直线的方程可得：，
解得，
所以直线的方程为：．
16.解：设的坐标为，
由题意得，，
因为四边形是平行四边形，所以，
即，解得，
即的坐标为；
由题意得，
则，，，
所以，得，
故四边形的面积为．
17.解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为，则，，，，，
，，，，
因为，，
所以，
所以与所成角的余弦值为；
因为，，
设平面的法向量为，
则，取，得，所以，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为；
由知，平面的一个法向量为，
因为，，
设平面的法向量为，
则，解得，取，则，所以，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：因为圆的圆心是直线与直线的交点，
由，得，
即圆心，
又圆和直线相切，设圆的半径为，
则，
所以圆的标准方程为；
由直线：，
得，
由，解得，
所以直线过定点；
因为，
所以当时，的面积最大，
此时为等腰三角形，
故圆心到直线的距离为，
所以，
解得，
所以此时的方程为：或．
19.证明：由平面，平面，平面，
得，， 与底面所成角为，
所以三角形为等腰直角三角形，，
又由四边形是直角梯形，，可知，
所以为等腰直角三角形，而，故AC，
在直角梯形中，过作，垂足为，
则四边形为正方形，可得，
所以，在等腰直角三角形中，，
则有，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，，
因为是中点，是中点，所以，，
设平面的一个法向量为，
又，，
则有，取，则，
可得平面的一个法向量为，
而，
所以点到平面的距离为；
设，
注意到，所以，所以，
设，
注意到，所以，
因为，，
所以，，
若平面，则当且仅当，
即当且仅当，此时，
综上所述，当且仅当，重合，
此时存在，使平面．
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