2024-2025学年山东省滨州市北镇中学高二（上）第二次月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年山东省滨州市北镇中学高二（上）第二次月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围( )
A. B. C. D.
3.如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
4.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知向量，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知圆：过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是上的任意一点，则( )
A. 的离心率为 B.
C. 的最大值为 D. 使为直角的点有个
10.已知直线：，圆：，为圆上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 直线与圆相切时， D. 圆心到直线的距离最大为
11.如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得平面
B. 周长的最小值为
C. 三棱锥的外接球的体积为
D. 平面与平面的夹角正弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线被圆截得的弦长为______．
13.点是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为______．
14.如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为______．
005A
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，．
证明：；
若，求点到平面的距离．
16.本小题分
已知圆经过点，，且它的圆心在直线上．
求圆的方程；
若点为圆上任意一点，且点，求线段的中点的轨迹方程．
17.本小题分
已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．
求的方程；
过作直线与交于，两点，为坐标原点，若，求的方程．
18.本小题分
在中，，，，，分别是，上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
求证：平面；
求与平面所成角的大小；
在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
求的方程．
不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
证明：直线过定点；
求面积的最大值．
参考答案
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15.证明：因为，，
所以，
所以，
因为为直四棱往，
所以，
因为，，面，
所以面，
因为，
所以面，
因为面，
所以．
解：由及题意知，，，两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，，．
所以，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
即，
令，
解得，，
，
所以点到平面的距离为．
16.解：由已知可设圆心，又由已知得，
从而有，解得：．
于是圆的圆心，半径．
所以，圆的方程为．
设，又点是圆：上任意一点，
可设．
，点是线段的中点，
有，，
消去参数得：．
故所求的轨迹方程为：．
17.解：由已知得，解得，
所以的方程为．
由题可知，若面积存在，则直线的斜率不为，
所以设直线的方程为，显然存在，
，，
联立消去得，
因为直线过点，所以显然成立，
且，
因为，
化简得，
解得或舍，
所以直线的方程为或．
18.解：证明：因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又，，平面，
所以平面，平面，
所以，
又已知，，且都在面内，
所以平面；
由，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故C，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
不妨令，则，，
所以，
设与平面所成角的大小为，
则有，
故，
即与平面所成角的大小为；
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为，
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的先向量为，
则，
不妨令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，
不妨令，则，，
所以，
若平面与平面成角余弦值为，
则满足，
化简得，
解得或，
即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或．
19.解：令椭圆的半焦距为，由离心率为，得，
则，
由三角形面积为，得，则，，
的方程是；
证明：由知，点，
设直线的方程为，设，，
由，得，
则，
直线与的斜率分别为，，
于是
，整理得，解得或，
当时，直线过点，不符合题意，因此，
此时直线：恒过定点；
解：由知，，
则，
因此的面积
，当且仅当，即时取等号，
故面积的最大值为．
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