6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量数量积的定义、投影向量
一、选择题
1.在正六边形ABCDEF中,向量与的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
2.[2024·重庆八中高一月考] 在△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=60°,则·=( )
A.12 B.6
C.-6 D.-12
3.下列说法中错误的是 ( )
A.对于任意向量a,都有0·a=0
B.若a·b=0,则a=0或b=0
C.对于任意向量a,b,都有|a·b|≤|a||b|
D.若a,b共线,则a·b=±|a||b|
4.已知|a|=3,|b|=4,a·b=-6,则向量a与b的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
5.在△ABC中,“△ABC为钝角三角形”是“·>0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.[2024·淄博高一期中] 已知O是△ABC的外心,满足+=2,||=||,则向量在向量上的投影向量为 ( )
A. B.
C.- D.-
7.如图,AB是圆C的一条弦,则下列条件中能得出·=2的是 ( )
A.圆C的半径为2
B.圆C的半径为1
C.弦AB的长为2
D.弦AB的长为1
8.(多选题)已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列说法正确的是 ( )
A.e1在e2上的投影向量为cos θ e2
B.e1·e2=1
C.=
D.(e1+e2)⊥(e1-e2)
9.(多选题)如图,I,J分别为CD,CE的中点,四边形ABCD、四边形BCEF和四边形GHIJ均为正方形,则 ( )
A.·=0
B.在上的投影向量为
C.·>0
D.在上的投影向量为2
二、填空题
10.若|a|=2,b=-3a,则a·b= .
11.[2024·重庆巴蜀中学高一期中] 已知非零向量a和单位向量b满足a⊥b,且向量a+b与a的夹角为30°,则|a|= .
12.已知P是边长为2的菱形ABCD内一点(不包括边界),若∠BAD=120°,则·的取值范围是 .
三、解答题
13.如图,在平行四边形ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·;
(4)·.
14.若向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,求a·b+b·c+c·a.
15.对任意两个非零的平面向量α和β,定义α°β=.若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角θ∈,且a°b和b°a都在集合中,则a°b+b°a= ( )
A. B.2 C. D.3
16.如图,在梯形ABCD中,DA=AB=BC=CD=1,若点P在阴影区域内(含边界)运动,求·的取值范围.
6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量数量积的定义、投影向量
1.B [解析] 如图,连接BE,设AD与BE交于点O,由正六边形的性质可知△AOB为等边三角形,所以∠OAB=,则向量与的夹角为.故选B.
2.C [解析] 在△ABC中,∵∠ABC=60°,∴与的夹角为120°,则·=||||cos<,>=3×4×cos 120°=-6.故选C.
3.B [解析] A中说法显然正确;当a,b都是非零向量,且a⊥b时,a·b=0也成立,故B中说法错误;若a,b都是非零向量,则|a·b|=||a||b|cos
|≤|a||b|,若a=0或b=0,则|a·b|=|a||b|=0,故C中说法正确;当a,b都是非零向量,且共线时,=0或=π,则cos=±1,所以a·b=±|a||b|,当a=0或b=0时,a·b=|a||b|=0,也满足a·b=±|a||b|,故D中说法正确.故选B.
4.B [解析] 设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos θ===-,所以θ=.故选B.
5.B [解析] 若·>0,则·<0,所以cos B<0,又因为B∈(0,π),所以B为钝角,△ABC为钝角三角形,必要性成立;若△ABC为钝角三角形,则B不一定为钝角,无法推出·>0,充分性不成立.故“△ABC为钝角三角形”是“·>0”的必要不充分条件.故选B.
6.C [解析] 由+=2,可知点O为BC的中点,又O是△ABC的外心,所以AB⊥AC,又||=||,所以△OAB为等边三角形,则∠ABC=60°,则cos<,>=120°,所以向量在向量上的投影向量为||×cos 120°×=×=-.故选C.
7.C [解析] 如图所示,过点C作OC⊥AB交AB于点O,则O是AB的中点,所以·=||||cos∠CAB=||||=||2=2,所以||=2.故选C.
8.ACD [解析] e1在e2上的投影向量为|e1|·cos θ e2=cos θ e2,故A正确;e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ,故B不正确;=|e1|2,=|e2|2,且|e1|2=|e2|2=1,故C正确;由题知以向量e1,e2为邻边的平行四边形为菱形,其两条对角线互相垂直,所以(e1+e2)⊥(e1-e2),故D正确.故选ACD.
9.ABD [解析] 对于A,由题意可知∠ACB=∠FCB=,则∠ACF=,所以·=0,故A正确;对于B,如图,设M,N分别为AB,HG的中点,连接IM,CN,则在上的投影向量为=,故B正确;对于C,因为与的夹角为,所以·<0,故C错误;对于D,在上的投影向量为=2,故D正确.故选ABD.
10.-12 [解析] 由题意得|b|=3|a|=6,且b与a反向,∴=180°,∴a·b=|a||b|cos 180°=2×6×(-1)=-12.
11. [解析] 因为a⊥b,所以根据向量加法的平行四边形法则可得向量a+b如图所示,又因为向量a+b与a的夹角为30°,所以|a|=|b|=.
12.(-2,4) [解析] ·=||||cos∠BAP,所以当点P与点B重合时,·=4,当点P与点D重合时,·=-2,又P是菱形ABCD内一点(不包括边界),所以·的取值范围是(-2,4).
13.解:(1)在平行四边形ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,∵=,∴·==9.
(2)∵=-,∴·=-=-16.
(3)·=||||cos∠DAB=4×3×=6.
(4)∵=-,∴·=-·=-||||cos∠DAB=-3×4×cos 60°=-6.
14.解:由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b,∴向量a与b同向,而向量c与它们反向,∴a·b+b·c+c·a=3cos 0°+4cos 180°+12cos 180°=3-4-12=-13.
15.B [解析] 因为θ∈,所以0,可得016.解:如图,作AF⊥CD,垂足为F,记BD的中点为E,连接AE,则AE⊥BD.
由DA=AB=BC=CD=1可知,梯形ABCD为等腰梯形,DF=,
所以∠ADF=60°,∠DAF=30°,则∠DAB=120°,
所以∠ABD=∠ADB=30°,∠CBD=90°,
所以BD=2×1×cos 30°=.
由图可知,当点P在线段BC上时,在上的投影向量为,此时·取得最小值,最小值为·;
当点P与点D重合时,在上的投影向量为,此时·取得最大值,最大值为·.
综上所述,·≤·≤·,
即-≤·≤.第2课时 向量数量积的运算律
一、选择题
1.设向量a,b的夹角的余弦值为-,|a|=2,|b|=3,则(2a+3b)·b= ( )
A.-23 B.23
C.-27 D.27
2.已知非零向量a,b满足(a+b)⊥(a-b),则 ( )
A.a=b B.|a|=|b|
C.a⊥b D.a∥b
3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,向量a与b的夹角为60°,则|4a-b|= ( )
A.12 B.4
C.2 D.2
4.[2024·华师大一附中高一期中] 已知a,b,c均为单位向量,且2a=3b+4c,则a与b的夹角的余弦值为 ( )
A. B.-
C. D.-
5.已知向量·=0,D是BC的中点,||=2,则·的值为 ( )
A.1 B.2
C.-1 D.-2
6.设向量a与b的夹角为θ,定义ab=|asin θ+bcos θ|.已知向量a为单位向量,|b|=,|a-b|=1,则ab= ( )
A. B. C. D.2
7.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,则实数t的取值范围是 ( )
A.
B.∪
C.
D.
8.(多选题)已知向量a,b均为单位向量,且|b-2a|=,则下列结论正确的是 ( )
A.a⊥b B.|a+b|=2
C.|a-b|= D.=60°
9.(多选题)[2024·福建八市高一期中] 定义:已知两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,我们把|a|·|b|·sin θ叫作向量a与b的叉乘,记作a×b,以下说法正确的是 ( )
A.若a×b=0,则a∥b
B.λ(a×b)=(λa)×b
C.若四边形ABCD为平行四边形,则它的面积等于×
D.若a×b=,a·b=1,则|a+b|的最小值为
二、填空题
10.[2024·山东青岛高一期中] 若|a|=1,|b|=,a·b=1,则|a-b|= .
11.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(2a-b)=1,则a与b的夹角为 .
12.[2024·辽宁本溪高一期中] 如图,正方形的一条边上连接一个等腰直角三角形,等腰直角三角形的两腰上再分别连接一个正方形,以此类推.设初始正方形ABCD的边长为2,则·= .
三、解答题
13.[2024·佳木斯高一期中] 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为.
(1)求(2a+b)·(3a-2b);
(2)若(ma+b)⊥(a+2b),(a-nb)∥(2a+6b),m,n∈R,求m-n的值.
14.如图,在边长为4的正三角形ABC中,E为AB的中点,D为BC的中点,=3.令=a,=b.
(1)试用a,b表示向量;
(2)延长EF交AC于点P,求·的值.
15.[2024·温州中学高一期中] 已知|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a·b=,则|a+b+c|的最大值为 ( )
A. B.5
C. D.6
16.如图,设Ox',Oy'是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x'轴、y'轴正方向同向的单位向量.若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫作在坐标系x'Oy'中的坐标.已知向量,在坐标系x'Oy'中的坐标分别为(2,3),(4,5).
(1)求||.
(2)在y'轴上是否存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形 若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
第2课时 向量数量积的运算律
1.B [解析] 设a与b的夹角为θ,则cos θ=-,又|a|=2,|b|=3,所以a·b=|a|·|b|cos θ=2×3×=-2,所以(2a+3b)·b=2a·b+3b2=-4+27=23.故选B.
2.B [解析] ∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0,∴|a|2-|b|2=0,∴|a|=|b|.
3.C [解析] 因为|a|=1,|b|=2,向量a与b的夹角为60°,所以a·b=|a||b|cos 60°=1,所以|4a-b|====2.故选C.
4.D [解析] 因为a,b,c均为单位向量,且2a=3b+4c,所以2a-3b=4c,两边平方得4a2-12a·b+9b2=16c2,则4-12cos+9=16,解得cos=-,即a与b的夹角的余弦值为-.故选D.
5.B [解析] ∵D是BC的中点,∴=+,又·=0,∴·=·=+·=.∵||=2,∴·=||2=2,故选B.
6.C [解析] 由题意得|a-b|===1,解得cos θ=,因为θ∈[0,π],所以sin θ==,所以ab====.故选C.
7.B [解析] 由题意知(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,即2t2+15t+7<0,解得-78.AC [解析] 由题意,向量a,b均为单位向量,且|b-2a|=,则|b-2a|2=(b-2a)2=b2-4a·b+4a2=1-4a·b+4=5,解得a·b=0,所以a⊥b,故A正确,D错误;|a+b|===,故B错误;|a-b|===,故C正确.故选AC.
9.ACD [解析] 对于A,若a×b=0,则|a||b|sin θ=0,而|a|≠0,|b|≠0,因此sin θ=0,又0≤θ≤π,所以θ=0或θ=π,所以a∥b,A正确;对于B,λ(a×b)=λ|a||b|sin θ,当λ<0时,(λa)×b=|λa||b|sin(π-θ)=-λ|a||b|sin θ,当0<θ<π时,λ(a×b)≠(λa)×b,B错误;对于C,平行四边形ABCD的面积S=||||sin∠BAD=×,C正确;对于D,由a×b=,得|a||b|sin θ=,由a·b=1,得|a||b|cos θ=1,两式平方后相加得(|a||b|)2=4,所以|a||b|=2,则|a+b|==≥=,当且仅当|a|=|b|=时取等号,D正确.故选ACD.
10.1 [解析] 因为|a|=1,|b|=,a·b=1,所以|a-b|====1.
11. [解析] 由(a+2b)·(2a-b)=1,得2a2+3a·b-2b2=1,因为|a|=3,|b|=2,所以18+3a·b-8=1,解得a·b=-3.设a与b的夹角为θ,则cos θ===-,因为θ∈[0,π],所以θ=.
12.5 [解析] 如图,连接EF,延长AD交EF于点M,延长BC交EF于点N.由题意和图形的对称性,可知AM⊥EF,BN⊥EF,且AM=BN=2+×2=3,ME=NF=2××+2××=2,所以·=(+)·(+)=·+·+·+·=·+·=||·||cos 0+||·||cos π=9-4=5.
13.解:(1)因为|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,所以a·b=|a|·|b|cos=2×3×=-3,
所以(2a+b)·(3a-2b)=6a2-a·b-2b2=6×22-(-3)-2×32=9.
(2)因为a与b不共线,所以若(a-nb)∥(2a+6b),则存在唯一实数t,使得a-nb=t(2a+6b),
可得解得
因为(ma+b)⊥(a+2b),所以(ma+b)·(a+2b)=0,
即ma2+(2m+1)a·b+2b2=0,即m×22+(2m+1)×(-3)+2×32=0,解得m=,
所以m-n=-(-3)=.
14.解:(1)=+=-+=-+×(+)=-++=-+=-a+b.
(2)设=λ,λ∈(0,1),则=+=+λ=-+λ=-a+λb,因为与共线,所以可设=k,k∈(0,1),
则-a+b=k,即a+b=0,则解得即=, 则=+=-=(+)-=--=-a-b,故·=·=a2+a·b-a·b-b2=a2-b2=×42-×42=2.
15.A [解析] |a+b+c|==
=
,因为c·(a+b)≤|c||a+b|=3×=3×=,当且仅当c与a+b同向时取等号,所以|a+b+c|≤==.故选A.
16.解:(1)∵=-=4e1+5e2-(2e1+3e2)=2e1+2e2,∴||==
2×=2.
(2)假设在y'轴上存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形.设=te2,则=-=2e1+3e2-te2=2e1+(3-t)e2,=-=(4e1+5e2)-te2=4e1+(5-t)e2,根据题意得⊥,∴·=0,∴[2e1+(3-t)e2]·[4e1+(5-t)e2]=0,得8+(3-t)(5-t)+[2(5-t)+4(3-t)]×1×1×=0,整理得t2-11t+34=0,∵Δ<0,∴方程无解.故在y'轴上不存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形.