2024-2025学年河南省郑州市高二上学期9月阶段性检测数学试题（含答案）

2024-2025学年河南省郑州市高二上学期9月阶段性检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间两点，，下列选项中的与共线的是( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，，且，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.直线的方向向量，直线的方向向量，则不重合直线与的位置关系是( )
A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不能确定
4.已如向量，，且与互相垂直，则 ．
A. B. C. D.
5.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则( )
A. B. C. D.
7.在正方体中，直线与平面所成的角为 ．
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，分别为，的中点，则下列说法错误的是( )
A. 平面 B.
C. 直线与平面所成角为 D. 异面直线与所成角为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线、的方向向量分别是、，若且，则的值可以是( )
A. B. C. D.
10.已知空间三点，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，平面，，则( )
A.
B. 平面
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 ．
13.已知，则直线和所成角的余弦值为 ．
14.四棱锥中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，则与平面所成角的正弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，向量，
求向量，，的坐标；
求与所成角的余弦值．
16.本小题分
已知空间三点．
求
求的面积；
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，是的中点，平面，垂足落在线段上，已知．
求证：；
若点是线段是一点，且试证明平面平面．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面为的中点，且
求；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
如图，四棱锥中，底面，，，．
若，证明：平面
若，且二面角的正弦值为，求．
参考答案
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15.解：因为向量，所以，解得：，，
则，，
又因为，则，解得，
所以
由知，
所以，，
则，，，
即与所成角的余弦值

16.解：，
设向量，的夹角为，
由，
，，
，
又三角形中，
．

17.解：证明：以为原点，过点作的平行线为轴，以方向为轴正方向，以射线的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示；
则，
故，，
，
证明：因为平面，平面，所以，
因为，故，为上一点，且，
，，
，；
设平面的法向量为，
则，即
令，则；
设平面的法向量为，则
即，令，则；
由于，
得，即平面平面．

18.解：因为底面，且矩形中，，
所以以为原点，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，
设，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以；
设平面的一个法向量为，
由于，
则
令，得，
设平面的一个法向量为，
由于
则
令，得，
所以，
所以二面角的正弦值为．
19.证明：因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，，，，所以，
于是，又平面，平面．
所以平面．
因为，以为原点，分别以，，为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
设平面的一个法向量，因为，，
所以由，即，
可取；
又，，
设平面的一个法向量，所以由
取，
因为二面角的正弦值为，所以余弦值的绝对值为．
所以由，得，，
因此，．
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