2024-2025学年河南省部分学校高二上学期9月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省部分学校高二上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为( )
A. B. C. D.
3.如图，在平行六面体中，点，分别为，的中点，则( )
A. B.
C. D.
4.已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
7.数学家欧拉于年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误
的结论( )
A. 的最小值为
B. 四面体的体积为
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 存在点，使为等边三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，则( )
A. 若，则的一个方向向量为
B. 若，则或
C. 若，则
D. 若不经过第二象限，则
10.下列说法错误的是( )
A. 若是空间任意四点，则有
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若共线，则
D. 对空间任意一点与不共线的三点，若其中，则四点共面
11.如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为的菱形，，为对角线的交点，为的中点．则下列说法正确的是( )
A.
B. 三棱锥的外接球的半径为
C. 当异面直线和所成的角为时，
D. 点到平面与到平面的距离相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知到直线的距离等于，则的值为 ．
13.如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ．
14.在侧棱长为的正三棱锥中，点为线段上一点，且，点为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别为，已知．
求；
若为边的中点，求的长．
16.本小题分
如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点．

证明：平面 ；
求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式某直播平台工作人员在问询了解了本平台个直播商家的利润状况后，随机抽取了个商家的平均日利润单位：百元进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示．

求的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表．
以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多并说明理由．
18.本小题分
如图，直角梯形中，，以为轴将梯形旋转后得到几何体，如图，其中分别为上下底面直径，点分别在圆弧上，直线平面．

证明：平面平面；
若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离；
若平面与平面夹角的余弦值为，求．
19.本小题分
点是直线外一点，点在直线上点与，两点均不重合，我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记．
若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值；
若在正方体的棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值；
若是边的等分点，由对施以视角运算，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因为，
所以由正弦定理可得 ，
化简得，
因为，所以，所以，
因为，
所以
由余弦定理可得，，
即，
所以，解得，负值舍去．
因为为的中线，
所以，
所以，
因为，，所以，
所以．
即的长为．

16.解：在正四棱柱中，，，两两垂直，且，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．

因为，分别为的中点，所以，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则有，，即，
因为，所以，
又平面，所以平面．
由可知，，
，
所以与平面所成角的正弦值为．

17.解：
由题意可知，解得．
设中位数为，则，解得，所以中位数为，
平均数为
由题意可知，方案一受到奖励的商家的个数为，
方案二受到奖励的商家的个数为，
因为，所以方案一受到奖励的商家更多．

18.解：证明：设平面与几何体的上底面交于点，即平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以，
又因为平面，平面，平面，
所以，所以，
因为，所以，
又因为平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
连接，由知平面，
所以就是直线与平面所成的角，即，
因为，所以，所以为直角三角形，
又，所以，
又因为平面平面，
所以点到平面的距离为，
因为平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设为，
因为，所以，
因为，所以，
即点到平面的距离为．
分别取的中点，连接，则，
因为且平面，，且平面，
所以平面平面，
若平面与平面夹角余弦值为，则平面与平面夹角的余弦值也为，
因为为的中点，，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
连接，过点作于点，
因为平面平面，且平面，所以平面，
过点作于点，连接，
则即为平面与平面夹角，即为，所以，
设，则，
因为，所以，
又因为，所以，，
在直角中，由射影定理知，所以，
在直角中，，所以，
在直角中，，
整理得，解得，即，
所以．


19.解：如图，
因为，所以．
由正方体的定义可知，则，
故，
．
因为，
所以，
则．
如图，设，
则．
因为，
所以，
则，解得，
故．
如图，
因为是的等分点，
所以．
在中，由正弦定理可得，
则．
在中，同理可得．
因为，所以，
则．
同理可得．
故

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