2024年北京九中高三10月月考数学（教师版）（PDF版，无答案）

2024北京九中高三 10月月考
数 学
（考试时间 120分钟 满分 150分）
一、单选题（共 40 分）
1．（本题 4 分）若集合 A = 0,1,3 ， B = 1,0,2,3 ，则 A B 等于（ ）
A． 1,0,1,2,3 B． 1,0,2,3 C． 0,1,3 D． 0,3
2．（本题 4 分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
1 x
2 , x 0,
A． y = x +1 B． y = C． y＝﹣x3 D． y =
x x
2 , x 0
1 1
3．（本题 4 分）已知 cos ( + ) = ,cos cos = ，则 tan tan =（ ）
4 3
1 1
A． B． C．3 D．4
4 3
4．（本题 4 分）已知等比数列{a }满足 a1 + a3 = 5， a2 = 2n ，则{an}的公比为（ ）
1 1
A． 2或 B． 2或
2 2
1 1
C． 2 或 D． 2 或
2 2
5．（本题 4 分）在 ABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为a，b ，c．若 a = 13 ，b = 3 ， c = 2，则角
A =（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
0.2
a = log 2 b = log 4
1
6．（本题 4 分）已知 4 ， 10 ，c = ，则下列判断正确的是（ ）
2
A． c b a B．b a c C．a c b D．a b c
7．（本题 4 分）“ ”是“ ”的．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（本题 4 分）在 中，若 sin2 A+ sin2 B sin2 C ，则角 A 是
A．钝角 B．直角 C．锐角 D．不能确定
9．（本题 4 分）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为 1，顶角为 的四个等腰三角形，及其
底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为
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A． 2sin 2cos + 2； B． sin 3 cos +3
C．3sin 3 cos +1 D．2sin cos +1
10．（本题 4 分）在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格a与其实际价值之间，存在着
相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格 a与其实际价值的差距.设顾客
第 n次的还价为bn ，商家第 n次的讨价为 cn ，有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价a
a a +b
的一半，即第一次还价b1 = ，商家第一次的讨价为b1与标价a的平均值，即 c =
1 ；…，顾客第n1 次
2 2
c +b
的还价为上一次商家的讨价 cn 1与顾客的还价bn 1的平均值，即b =
n 1 n 1
n ，商家第n次讨价为上一次商
2
c +b
家的讨价 cn 1与顾客这一次的还价bn 的平均值，即 c =
n 1 n
n ，现有一件衣服标价 1200 元，若经过n次的
2
“对半讨价还价”，b 与 c 相差不到 2 元，则 nn n 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（共 25 分）
x 1
11．（本题 5 分）函数 f (x) = 的定义域为 .
2 x
π
12．（本题 5 分）半径为 6，圆心角等于 的扇形的面积是 ．
3

13．（本题 5 分）若将函数 f (x) = sin(x )的函数图象平移 ( R)个单位，得到一个偶函数的图象，则
3
的最小值为 .
2 2
14．（本题 2 25 分）点 P 从 , 出发，沿单位圆 x + y =1逆时针方向运动 弧长到达
Q 点，则点Q 的
2 2

3
坐标为 .
x
15．（本题 5 分）已知函数 f (x) = x ，给出下列结论： e
① (1,+ )是f (x)的单调递减区间；
1
②当 k ( , ) 时，直线 y=k 与 y=f （x）的图象有两个不同交点；
e
③函数 y=f（x）的图象与 y = x2 +1的图象没有公共点；
1
④当 x (0,+ )时，函数 y = f (x)+ 的最小值为 2．
f (x)
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其中正确结论的序号是
三、解答题（共 85 分）
16．（本题 14 分）已知数列 an 是公差不为 0 的等差数列， a3 = 6, a1, a2 , a4 成等比数列.
(1)求数列 an 的通项公式；
2
(2)若bn = ，设数列 bn 的前 n项和为 Sn ，求 Sn .
anan+1
π
17．（本题 14 分）已知函数 f (x) = 2sin x + 2cosx．
4
(1)求 f ( x)的最小正周期；
(2)求 f ( x)图象的对称轴方程；
(3)求 f ( x)在 π,0 上的最大值和最小值．
2
18．（本题 14 分）设函数 f (x) = x (x 3x + a)， a R
(1)当a = 9时，求函数 f ( x)的单调增区间；
(2)若函数 f ( x)在区间 (1,2)上为减函数，求 a的取值范围；
(3)若函数在区间 (0, 2)内存在两个极值点x1， x2 ，且 f (x1 ) f (x2 ) f (x1 )+ f (x2 ) ，直接写出a的取值范
围.
π
19．（本题 14 分）在 ABC 中， sin A 3 sin B ，C = .
6
(1)求 BAC 的大小；
(2) E 是 AC 的中点.从条件① BE = 7 ，条件② a + b + c = 4+ 2 3 ，条件③ c = 2b中选择一个作为已知，使
ABC 存在且唯一确定，求 ABC 的面积；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.
a x
20．（本题 15 分）已知函数 f (x) = (1+ )e ，其中 a 0．
x
（Ⅰ）求函数 f (x) 的零点；
（Ⅱ）讨论 y = f (x)在区间 ( , 0)上的单调性；
a
（Ⅲ）在区间 ( , ]上， f (x) 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
2
*
21．（本题 14 分）在无穷数列 an 中， a * a a *1 =1，对于任意n N ，都有 an N ， n n+1．设m N ，记使
得 a bn m成立的 n 的最大值为 m ．
(1)设数列 a 为1,4,7,10,n ，写出b1，b2，b3 ，b4的值；
(2)若{ }为等比数列，且 a2 = 2，求b1 + b2 + b3 + + b50 的值．
(3)设 ap = q ， a1 + a2 + + ap = A，直接写出b1 + b2 + + bq 的值．（用 p，q，A 表示）
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