2024-2025学年福建省三明市宁化县滨江实验中学高二（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省滨江实验中学高二（上）月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.“”是“直线与平行”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知直线上有两点，，平面的一个法向量为，若，则( )
A. B. C. D.
4.若直线不经过第一象限，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知为直线上的一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图所示是一个以为直径，点为圆心的半圆，其半径为，为线段的中点，其中，，是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是( )
A. 为正三角形 B. 平面
C. 平面 D. 点到平面的距离为
8.如图所示，已知，，，，一束光线从点出发射到上的点经
反射后，再经反射，落到线段上不含端点，则直线的斜率的取值范围是 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量，，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 在上的投影向量为
10.以下四个命题为真命题的是( )
A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为
B. 直线的倾斜角的范围是
C. 直线与直线之间的距离是
D. 直线恒过定点
11.如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形上的动点，则( )
A. 满足平面的点的轨迹长度为
B. 满足的点的轨迹长度为
C. 存在唯一的点满足
D. 存在点满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点、和，则过点且与点、距离相等的直线方程为______．
13.已知，，若点在线段上，则的取值范围是______．
14.如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱若，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：与直线：相交于点，且点在直线：上．
求点的坐标和实数的值；
求与直线平行且与点的距离为的直线方程．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，点是的中点，，，，，设，，．
用，，表示，；
求异面直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
如图，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且．
求证：平面；
求平面与平面 夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥，，，为的中点．
证明：直线平面；
若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中；为坐标原点．
若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
若点，，求的最大值；
已知点，是直线：上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：由，解得，所以与的交点为．
将代入直线：，得，解得；
直线：，设与直线平行的直线为：．
因此点到直线的距离，即，解得或，
即所求直线的方程为或．
16.解：由图可得，
，
三棱柱，四边形是平行四边形，
又因为，所以四边形是矩形，，
，，，由余弦定理可得，
，故BC，，，面，
连接，，，，，
和为正三角形，，，
，
，异面直线与所成角的余弦值为．
17.证明：因为四边形是矩形，所以 ．
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，可，
所以，又因为，且平面，
所以平面．
解：由题意及知且平面，所以平面，
由已知条件可知，所以，，，两两垂直，
以点为坐标原点，以 所在直线为轴， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
可得，，，，，，
则，，
由知，平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则
令，则，，所以，
设所求的锐二面角为，则，
即平面与平面 夹角的余弦值为．

18.解：证明：
取的中点，连接，，
因为，
所以，
因为，，
所以，，
则，
又因为平面，平面，
所以平面
因为为的中点，为的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为，且平面，
所以平面平面，
而平面，故平面；
因为平面平面，连接交于点，连，
由对称性知，为中点，且，
如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
，，
设，则，
，
得，，
即，
设平面的一个法向量为，
由于，，
则，得
令，得，，
故平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
由于，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．

19.解：，
，
；
设，由题意得：，
即，而表示的图形是正方形，
其中、、、．
即点在正方形的边上运动，，，
可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值，
因此，点有如下两种可能：
点为点，则，可得；
点在线段上运动时，此时与同向，取，
则，
因为，所以的最大值为．
易知，设 ，则 ，
当时，，则，，满足题意；
当时，，
由分段函数性质可知，
又且恒成立，当且仅当时等号成立，
综上，满足条件的直线有且只有两条，：和．
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