一元二次函数、方程和不等式单元检测（2019人教A版）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）已知，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）若，则的最小值是 （ ）
A． B．1
C．2 D．
4．（22-23高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高三·全国·专题练习）已知，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
6．（23-24高一·江苏·假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（22-23高一上·江西南昌·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8．（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（21-22高三·海南·阶段练习）若、、，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若且，则
D．
10．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知，且，则（ ）
A．的最小值是 B．最小值为
C．的最大值是 D．的最小值是
11．（21-22高一上·安徽芜湖·期末）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2023高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为 ．
13．（2023高三·全国·专题练习）若正数a，b满足，则的最小值是 ．
14．（22-23高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，，则的取值范围为
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （22-23高一上·河南·阶段练习）（1）已知，且，证明：．
（2）证明：．
16. (15分) （22-23高一上·重庆渝中·阶段练习）已知不等式的解集为
(1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围；
(2)解关于的不等式：.
17. (15分) （22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
18. (17分) （22-23高一上·湖北黄冈·阶段练习）设．
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求的最小值；
(3)解关于x的不等式．
19. (17分) （2023·四川资阳·模拟预测）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A A D C C BD BC
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】利用作差法判断即可.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故选：D
2．A
【分析】由题意求得对称轴，再由开口方向求解.
【详解】解：因为二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，
所以其对称轴方程为：，
又，
所以二次函数的单调递减区间为，
故选：A
3．C
【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.
【详解】，当且仅当时取等号，
因此，即，解得，
所以当时，取得最小值2.
故选：C
4．A
【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【详解】因为的解集为，
所以方程的两根分别为和1，且，
则变形可得
故函数的图象开口向下，
且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.
故选：A
5．A
【分析】由基本不等式求解即可
【详解】因为，
所以可得，
则，
当且仅当，即时，上式取得等号，
的最大值为2．
故选：A．
6．D
【分析】首先由基本不等式求出的最小值，由恒成立即可求出的范围．
【详解】因为，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，
故选：D．
7．C
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
8．C
【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.
【详解】∵，，则，
∴，
又∵，且，
可得，
令，则原题意等价于对一切，恒成立，
∵的开口向下，对称轴，
则当时，取到最大值，
故实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】结论点睛：
对，恒成立，等价于；
对，恒成立，等价于.
9．BD
【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，若且，取，，则，A错；
对于B选项，若，则，B对；
对于C选项，若且，则，
则，故，C错；
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，故，D对.
故选：BD.
10．BC
【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D.
【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立，
即的最大值是，故A不正确；
对于B，∵，∴，，
所以，故B正确；
对于C，∵，且，∴，即
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，∵，
即时，等号成立，
所以的最小值是，故D错误．
故选：BC．
11．ACD
【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.
【详解】由题设，的解集为，
∴，则，
∴，，则A、D正确；
原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，
∴由图知：，，故B错误，C正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.
12．－4
【分析】通过分离常量，将恒成立问题转化成求最值，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】∵当时，恒成立，
∴恒成立，
又当时，，当且仅当x＝2时取等号．
∴，
∴，故a的最小值为－4.
故答案为：.
13．
【分析】设，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设，则，可得，
所以
，
当且仅当时，等号成立，取得最小值．
故答案为：．
14．
【分析】令求出m、n，再应用不等式的性质求的范围.
【详解】令，则，
所以，可得，故，
而，故.
故答案为：
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；
(2)等价于证明++，对不等式两边同时平方后只需证明，再平方即可证明.
【详解】证明：（1）由，且，
所以，且
所以，所以，
即；所以，即．
（2）要证，
只需证，
即证；
即证，
即证；即证，显然成立；
所以．
16．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据已知可得方程的2个根为2，3，由韦达定理解得，从而得不等式，结合不等式有且仅有10个整数解可得答案；
（2）分、、、、、讨论解不等式可得答案.
【详解】（1），原不等式等价于恒成立，
且的解集为，故方程的2个根为2，3，
故由韦达定理，
恒成立，
可得恒成立，所以，
解得，
，
故，
不等式有且仅有10个整数解，故，
所以的取值范围为；
（2）1 当时，由（1）得时，
，
即：，
①当时，原不等式解集为；
②当时，原不等式解集为；
③当时，原不等式解集为.
2 当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为，
由韦达定理：恒成立，
解得，
，
该不等式解集为或，
3 当时，
，则无解.
4 当时，
，则.
综上：当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
【点睛】方法点睛：本题体现了转化思想及分类讨论思想的应用，考查了含参数二次不等式的应用.
17．(1)
(2)6万元
【分析】（1）依题意求解即可；
（2）由结合基本不等式求解即可.
【详解】（1） ．
因为，所以
（2）因为 ．
又因为，所以，
所以（当且仅当时取“”）
所以
即当万元时，取最大值30万元．
18．(1)
(2)4
(3)答案见解析
【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解；
（2）变形为，利用基本不等式求解可得；
（3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可.
【详解】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立.
当时，不等式为，不合题意；
当时，，解得：；
综上所述：实数m的取值范围为．
（2），，
，
（当且仅当，即时取等号），的最小值为4．
（3）由得：；
①当时，，解得：，即不等式解集为；
②当时，令，解得：，；
1）当，即时，不等式解集为；
2）当，即时，不等式解集为；
3）当，即时，不等式可化为，
，不等式解集为；
4）当，即时，不等式解集为；
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
19．(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式即可求出的最小值．
（2）化简已知得，即，利用基本不等式即可得证.
【详解】（1）（2）因为，所以，所以．
因为，，所以，当且仅当时，等号成立，
则，即的最小值是2．
（2）证明：因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以．当且仅当时，等号成立
则，即，当且仅当时，等号成立．
【点睛】关键点睛：本题第二小问中用配凑法将的证明转化为的证明，其中是解题关键，本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，属于较难题.一元二次函数、方程和不等式单元检测（2019人教A版）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）已知，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）若，则的最小值是 （ ）
A． B．1
C．2 D．
4．（22-23高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高三·全国·专题练习）已知，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
6．（23-24高一·江苏·假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（22-23高一上·江西南昌·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8．（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（21-22高三·海南·阶段练习）若、、，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若且，则
D．
10．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）已知，且，则（ ）
A．的最小值是 B．最小值为
C．的最大值是 D．的最小值是
11．（21-22高一上·安徽芜湖·期末）已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2023高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为 ．
13．（2023高三·全国·专题练习）若正数a，b满足，则的最小值是 ．
14．（22-23高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，，则的取值范围为
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （22-23高一上·河南·阶段练习）（1）已知，且，证明：．
（2）证明：．
16. (15分) （22-23高一上·重庆渝中·阶段练习）已知不等式的解集为
(1)若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围；
(2)解关于的不等式：.
17. (15分) （22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
18. (17分) （22-23高一上·湖北黄冈·阶段练习）设．
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求的最小值；
(3)解关于x的不等式．
19. (17分) （2023·四川资阳·模拟预测）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
