湖北省“金太阳大联考”2025届高三上学期第一次联考数学试题（含答案）

湖北省“金太阳大联考”2025届高三上学期第一次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，，则“”是“是增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若对任意的，，函数满足，则( )
A. B. C. D.
6.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润单位：百万元与新设备运行的时间单位：年，满足当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等比数列中，，，则( )
A. 的公比为 B. 的公比为
C. D. 数列为递增数列
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 的图象与轴的交点坐标为
D. 函数的图象关于直线对称
11.已知，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，满足，且，则 ．
13.若，且，则 ．
14.已知正实数，满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在公差不为的等差数列中，，且是与的等比中项．
求的通项公式
若，，求数列的前项和．
16.本小题分
在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且
证明：．
若点在边上，且，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
若，求的极值点
讨论的单调性．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且，．
求的通项公式
证明：．
19.本小题分
当一个函数值域内任意一个函数值都有且只有一个自变量与之对应时，可以把这个函数的函数值作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数例如，由，，得，，通常用表示自变量，则写成，，我们称，与，互为反函数已知函数与互为反函数，若，两点在曲线上，，两点在曲线上，以，，，四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的“关联矩形”．
若函数，且点在曲线上．
(ⅰ)求曲线在点处的切线方程
(ⅱ)求以点为一个顶点的“关联矩形”的面积．
若函数，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为证明：参考数据：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设的公差为，因为是与的等比中项，所以，
即，整理得
又，，所以，则．
由可得，，
则，
，
得
，
则．
16.证明：因为，所以，
整理得，
又，所以，从而，
整理得，则，
由，得
即，
则，即
解：如图，
由，可得，则 ．
在中，由正弦定理得，
整理得C.
因为，且是锐角三角形，所以，解得，
则，
从而，
即的取值范围为
17.解：因为，所以，，
则．
当时，，单调递减当时，，单调递增．
故的极小值点为，无极大值点．
由，，得．
令，若，即，
则方程无解或有两个相等的实数解，
从而恒成立，则的单调递增区间为，无单调递减区间．
若，即，则方程的解为，．
若，即，则．
当时，，
当时，，则的单调递增区间为和，单调递减区间为
若，即，则当时，，
当时，，则的单调递增区间为，单调递减区间为
18.解：数列的前项和为，且，．
当时，，则，
整理得，
是以为首项，为公比的等比数列，则．
证明：由可得，则
当时，，
则，
．
19.解：因为点在曲线上，所以．
由得，，，
则曲线在点处的切线方程为．
由得，．
根据对称性可设，关于直线对称，可得，
则，．
若，则直线的方程为，与曲线相切，不符合题意．
若，则直线的方程为，联立方程组解得或舍去，
则，，
则该“关联矩形”的面积．
证明：由，得．
显然，根据对称性可设，关于直线对称，，关于直线对称，且．
设，，，，其中，，且，．
因为“关联矩形”是正方形，所以，
由得，，由，可得．
令，则，则在上单调递增．
由可得，．
．
令，则，当时，，单调递增，
则，
从而．
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