山东省“齐鲁名校联盟·天一大联考”2025届高三上学期第二次联考（10月）数学试题（含答案）

山东省“齐鲁名校联盟·天一大联考”2025届高三上学期第二次联考数学试题（10月）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.一块扇形薄铁板的半径是，圆心角是，把这块铁板剪去一个半径为的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
5.设等比数列的前项和为，则“数列为递增数列”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.函数的最小值为( )
A. B. C. D.
7.数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数且，，成等比数列，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 函数的最小值为
10.如图，有一列曲线，，，，已知所围成的图形是面积为的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记为曲线所围成图形的面积，则( )
A. 的边数为 B.
C. 的边数为 D.
11.已知函数，则( )
A. 的图象关于点对称
B. ，仅有一个极值点
C. 当时，图象的一条切线的方程为
D. 当时，有唯一的零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值集合是 ．
13.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构如图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成．，设，则上顶的面积为 参考数据：，
14.已知函数，则的最小值为 设函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，
比较，的大小，并写出过程
设数列的前项和为，证明：．
16.本小题分
已知函数与其导函数的定义域均为，且为奇函数，当时，，．
Ⅰ判断的奇偶性
Ⅱ解不等式．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，侧棱底面，，且，，．
证明：平面
求平面与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
设函数．
讨论的单调区间
已知直线是曲线在点处的切线．
求直线的方程
判断直线是否经过点．
19.本小题分
设数阵，其中，，，设，其中，且定义变换为“对于数阵的每一列，若其中有或，则将这一列中所有数均保持不变若其中没有且没有，则这一列中每个数都乘以”，表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，，以此类推，最后将经过变换得到”记数阵中四个数的和为
若，，写出经过变换后得到的数阵，并求的值
若，，求所有取值的和
对任意确定的一个数阵，证明：所有取值的和不大于
如果，其他条件不变，你研究后得出什么结论
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
所以即，故，
所以，故数列是递增数列，
所以．
证明：由，得，
则，
所以，
所以
，
因为，所以．
16.解：因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
两边同时求导可得，即，
所以为定义域为上的偶函数；
因为，
故当时，，
即当时，，
令函数，则，
所以当时，，故上单调递增，
又，则，
所以当时，，当时，，
又因为，
所以当时，，当时，，
又因为是奇函数，
所以当时，，当时，，
所以不等式的解集为
故答案为
17.解：设为中点，连接，，
因为，，所以，，因此在直线上，所以．
又因为底面， 平面，所以．
又因为平面，所以平面．
取中点，连接，则有，因此底面，
平面，因此，又因为，平面，所以平面，
由可知平面．
因此，可以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系。
由题易得，，，因此有，，，，，
则，，，．
设平面、平面的一个法向量分别为，且
则有，令，则
由，令，则
所以平面与平面所成角的正弦值为

18.解：由题意，函数的定义域为，
求导数，
在定义域范围内，有：
时，，，可得，函数的单调递增区间为；
，可得，函数的单调递减区间为；
时，，，可得，函数的单调递增区间为；
综上，当时，的单调递增区间是，的单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是，无单调递减区间。
，，
，，切线方程为：；
将代入则，则，
令，假设过，则在存在零点．
，
在上单调递增，
，在无零点，
与假设矛盾，故直线不过．
19.解：因为 ， ，
经过 变换得到的数阵 ，
经过 变换得到的数阵 ，
所以 ．
若 ，则 或 ，
可得 ，种情况；
若 或 ， ，则 ，
可得 ，种情况；
若 ，从 和 中各取出一个元素，，
， ， ，则 ，
可得 ，种；
若 ， ，则 或 ，
可得 ，种情况；
综上， 的所有可能取值的和 ；
若 ，在 的所有非空子集中，
含有 且不含 的子集共 个，
其中含有奇数个元素的集合有个，经过变换后第一列均仍为 ， ；
其中含有偶数个元素的集合有个，经过变换后第一列均变为 ， ；
含有 且不含 的子集共 个，
其中含有奇数个元素的集合有个，经过变换后第一列均仍为 ， ；
其中含有偶数个元素的集合有个，经过变换后第一列均变为 ， ；
同时含有 和 的子集共 个，
其中含有奇数个元素的集合有个，经过变换后第一列均变为 ， ；
其中含有偶数个元素的集合有个，经过变换后第一列均仍为 ， ；
不含 也不含 的子集共 个，
其中含有奇数个元素的集合有个，经过变换后第一列均变为 ， ；
其中含有偶数个元素的集合有个，经过变换后第一列均变为 ， ；
若 ，在 的所有非空子集中，
含有 的子集共 个，
其中含有奇数个元素的集合有个，经过变换后第一列均变为 ， ；
其中含有偶数个元素的集合有个，经过变换后第一列均仍为 ， ；
不含 的子集共 个，
其中含有奇数个元素的集合有个，经过变换后第一列均变为 ， ；
其中含有偶数个元素的集合有个，经过变换后第一列均仍为 ， ；
综上，经过变换后，所有 的第一列数的和为
同理，经过变换后所有 的第二列数的和为 ．
所以的所有可能取值的和为 ，
又因为 ，
所以的所有可能取值的和不超过 ．
因为 ， ，
经过 变换得到的数阵 ，
经过 变换得到的数阵 ，
所以 ．
结论：若数阵中的数与中的数没有相同的数，
则当为偶数时，数阵经过变换得到；
当为奇数时，数阵经过变换得到，

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