山东省“名校考试联盟”2025届高三上学期10月阶段性检测数学试题（含答案）

山东省“名校考试联盟”2025届高三上学期10月阶段性检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.幂函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
3.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度单位：可由公式求得，其中是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数现有的物体，放到的空气中冷却，后物体的温度是，已知，则的值大约为( )
A. B. C. D.
4.如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为的正方形，已知该组合体的体积为，则其表面积为( )
A. B. C. D.
5.若，是一元二次方程的两个正实数根，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则( )
A. B. C. D.
7.若是函数的极小值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为数列的前项和，若，则( )
A. B. 数列为等比数列
C. D.
10.已知幂函数的图象过点，则( )
A.
B. 为偶函数
C.
D. 不等式的解集为
11.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若的图象关于直线对称，且，则( )
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 为的一个周期 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，曲线在处的切线方程为 ．
13.已知且，函数，若关于的方程恰有个不相等的实数解，则实数的取值范围是 ．
14.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若，，球的半径为，则三棱锥体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求在上的单调递增区间
已知的内角，，的对边长分别是，，，若，，求面积的最大值．
16.本小题分
已知函数．
讨论的单调性
当时，证明：当时，
17.本小题分
已知函数．
若为奇函数，求的值
当时，函数在上的值域为，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若在上单调递减，求的最大值
证明：曲线是中心对称图形
若，求的取值范围．
19.本小题分
若存在，，，，，，的一个排列，满足每两个相同的正整数之间恰有个正整数，则称数列为“有趣数列”，称这样的为“有趣数”例如，数列，，，，，，，，，，，，，为“有趣数列”，为“有趣数”．
判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由
，，，，，，，，．
请写出“有趣数列”的所有可能情形
从，，，中任取两个数和，记和均为“有趣数”的概率为，证明：．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：
，
函数的单调递增区间满足：，
解得，
因为，令，得，
令，得，
所以在上的单调递增区间是
由可得，所以，
则在三角形中，由余弦定理，
当且仅当时取等号，
因为，可得，
所以，
故的面积的最大值为．
16.解：由题意知的定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递增
当时，令，得，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上所述：当时，在上单调递增
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：当时，，
令，则，
令，则，因为，所以，，所以当时，
恒成立，所以在上单调递减，
即在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，
所以，即
17.解：当在函数定义域中时，则，又因为为奇函数，所以，则，
经检验当时，，
所以为奇函数，符合；
当不在函数定义域中时，则当时，，所以，
经检验当时，，所以为奇函数，符合
综上：或
当时，，所以是单调增函数，
在上的值域为，
所以，，
则、是的两个解，即方程有两解，
设，则方程有两解，
在和上单调递减，上单调递增，
其中，在上的值域为，在上的值域为且取该区间最大值，
综上，即的取值范围为．
18.解：由于，
令，
则，
因为在上单调递减，
则在上恒成立，即在上恒成立，
因为，
因为，
则，
由题意，
则，
故，
所以的最大值为
证明：因为
，
可知曲线关于点对称，是中心对称图形；
若，则当时，，与矛盾，
故，
若，，则当时，，矛盾
若，，则当时，，矛盾；
因此，
若，则当时，，
此时，矛盾
若，则当时，，
此时，也矛盾，
因此，
于是，
若，由可知在上单调递减，
又，故当时，，在区间上单调递增
当时，，在区间上单调递减，
此时，符合题意；
若，则当时，，
此时，
则
综上所述，的取值范围是．
19.解：不是“有趣数列”，而是“有趣数列”；
若两个中间为，不妨设，，，右边两个中间可能为，或，，
则可能为，，，，，，，或，，，，，，，，不符合题意
若两个中间为，两个中间可能为，或，，
则可能为，，，，，，，或，，，，，，，，符合题意；
若两个中间为，不妨设右边两个中间可能为，或，，
则可能为，，，，，，，或，，，，，，，，不符合题意．
故“有趣数列”可能为，，，，，，，或，，，，，，，；
证明：将“有趣数列”中数字第一次出现的项记作第项，
由题意可知数字第二次出现的项为第项，
于是，
于是，
即，
又为整数，
故必有为整数，
当，时，不可能为整数，不符合题意
当时，为整数，构造“有趣数列”为：
，，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，符合题意
当时，为整数，构造“有趣数列”为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，符合题意，
这里，，是指将一直到的偶数按从大到小的顺序进行排列，
，，是指将一直到的奇数按从大到小的顺序进行排列，
故，，，中的“有趣数”为，，，，，，，共个，
则所求概率为．
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