江苏省徐州市如东一中、宿迁一中、徐州中学2025届高三上学期第一次阶段性测试数学试题（含答案）

江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学2025届高三上学期第一次阶段性测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则
A. B. C. ， D. ，，
2.已知，是两个平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，则
3.设向量，，若，则
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
4.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则
A. B. C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是
A. B.
C. D.
6.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7.设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则( )
A. 的周长为定值，面积有最大值 B. 的周长为定值，面积有最小值
C. 的面积为定值，周长有最大值 D. 的面积为定值，周长有最小值
8.已知，，，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 函数的最小值为
C. “且”是“”的充分不必要条件
D. 关于的不等式的解集是，则
10.已知函数，且，则
A. 的最小正周期为
B. 是偶函数
C. 的图象关于直线对称
D. 若在上有且仅有两个零点，则
11.在长方体中，，点满足，其中，，则
A. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为
B. 当时，面
C. 当时，有且仅有一个点，使得垂直
D. 当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12._________．
13.若，，，则的最大值为_________．
14.函数，若对于任意，都有成立，则实数的值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数为上的偶函数，且．
求；
求在处的切线方程．
16.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，是中点，，求的面积．
17.本小题分
如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
求证平面，并求直线和平面的距离；
求二面角的余弦值；
试在线段上确定一点，使与所成角为．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求的单调区间；
若时，，求的取值范围；
对于任意的且，证明：
19.本小题分
已知集合，若存在数阵 满足：
；
，．
则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．
已知数阵 是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；
若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；
判断是否为“好集合”若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意：恒成立得，，
即，可得，
即恒成立，所以．
由可知，
所以，可得，
所以，又，
所以在处的切线方程为：，
即
16.解：由正弦定理，得，
，，
，
又，，即，
又，；
在中，由余弦定理得，，即，
在中，由余弦定理得，，即，
由，解得：，，

17.解：以为正交基底，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
设平面的一个法向量，
则
令，得，
又，，
又因为不在平面内，所以平面．
，直线和平面的距离；
由条件易得平面的一个法向量为．
所以，，
根据图形可知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
由题意设点的坐标为，
则
又，
由已知得．
解得或舍，
从而点的坐标为，
因此点应在线段上靠近点的三等分点处．

18.解：的定义域为，
当时，，则
令，得，令，得
故的单调减区间是，单调增区间是
由条件可知，
当时，恒成立，在上单调递增，符合题意．
当时，在上单调递减，即时，不符合题意．
当且时，恒成立，不符合题意．
综上所述，的取值范围为
由知当，时，，即，当且仅当时等号成立
取，得，即令，，，且，
则，，，，
累加得，即，
，结论得证．
19.解：由“好数阵”的定义可知，，，，
故，，，
证明：当集合为“好集合”时，数阵是的一个“好数阵”．
构造数阵，
因为是“好数阵”，
所以当，，，时，，，
且，
因为，
所以数阵也是一个好数阵”，
一方面，因为，，
所以
另一方面，假设，因为，所以，
所以，与矛盾，所以
故集合的“好数阵”必有偶数个．
假设数阵是集合的一个“好数阵”．
由题意得：，，
两式相加得：
，
即，
当时，，与矛盾，所以不是“好集合”．
第1页，共1页