安徽省“江南十校”2025届新高三第一次综合素质检测数学试题（含答案）

安徽省“江南十校”2025届新高三第一次综合素质检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，( )
A. B. C. D.
2.记等差数列的前项和为，已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则对任意实数，有( )
A. B. C. D.
4.已知，都是锐角，，，求( )
A. B. C. D.
5.已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的项的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为( )
A. B. C. D.
7.某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为( )
A. B. C. D.
8.对于，恒成立，则正数的范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若，则或
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
10.箱中装有张相同的卡片，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取张卡片表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，表示事件“两次取出的卡片数字之和是”，则( )
A. B. C. 与相互独立 D. 与相互独立
11.定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心已知函数，的对称中心为，则下列说法中正确的有( )
A. ，
B. 的值是
C. 函数有三个零点
D. 过只可以作两条直线与图象相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线上的一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为 ．
13.已知样本，，，的平均数为，方差为，样本，，，的平均数为，方差为，则新样本，，，，，，，的方差为 ．
14.在中，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，一个质点在随机外力作用下，从原点处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位．
Ⅰ求质点移动次后移动到的位置的概率
Ⅱ设移动次中向右移动的次数为，求的分布列和期望．
16.本小题分
如图，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面与平面交于．
Ⅰ求证：
Ⅱ若，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知，函数．
Ⅰ证明存在唯一的极值点
Ⅱ若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知圆，动圆过定点且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
Ⅰ求曲线的方程
Ⅱ曲线上三个不同的动点，，满足与的倾斜角互补，且不与曲线的顶点重合，记关于轴的对称点为，线段的中点为，为坐标原点，证明：，，三点共线．
19.本小题分
设集合对于数列，如果，，则称为“平方差数列”．
Ⅰ已知在数列中，，求数列的通项公式，并证明数列是“平方差数列”
Ⅱ已知，判断是否为“平方差数列”说明理由
Ⅲ已知数列为“平方差数列”，求证：，
参考答案
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15.解：Ⅰ设质点移动到为事件，则向左移动次，向右移动次，．
Ⅱ的可能取值为，，，，，
，
，
，
，
分布列如下：
所以期望
16.Ⅰ证明：因为，平面，平面，所以平面，
因为平面平面，平面，所以；
Ⅱ解：过作，交于，因为，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，于是，
取中点，中点，连接交于，连接、，
所以，，，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，，于是平面，
因为，所以，又，
因为所以，
所以为二面角的平面角，
因为，
所以二面角余弦值为．
17.解：Ⅰ证明：，令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，所以时无零点；
当时，，，
由零点存在定理，时，有唯一零点，
综上，在上存在唯一零点．
所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以存在唯一的极值点；
Ⅱ由Ⅰ知，此时，得，
由于，所以，等价于，
令，则，，
令，，
若存在，使得对任意成立，等价于，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，故，
所以实数的取值范围
18.解：已知圆的圆心为，半径为
设动圆的圆心为，半径为，，，
点的轨迹是以，分别为左右焦点且长轴长为的椭圆，
则曲线的方程为．
Ⅱ设，，，，，
由题意，，可知，，
，，
两式相减得，
而，所以．
设直线的方程为，
则直线的方程为，
将的方程代入得
是方程的一个根，
同理可得
得
得
把代入，得
显然，得
把代入，得，
而，所以，
又，即，，三点共线．
19.解：Ⅰ由，得，
两式相减，得，
即，所以数列是等差数列．
由，得，所以公差，
故，即．
又因为，，，所以，
即数列是“平方差数列”，
Ⅱ不是“平方差数列”，
，，
当，均为奇数时，，均为偶数，则被整除
当，均为偶数时，，均为偶数，则被整除
当，一奇一偶时，，均为奇数，则为奇数
综上，集合中的元素要么被整除要么为奇数，
所以所以不是“平方差数列”，
Ⅲ 因为，，，
所以，即被整除的数都属于．
令，，，
结合ⅠⅡ得，，所以所有奇数与被整除的数都属于，
由题意，，，
当，均为奇数时，为奇数，
则
当，至少有一个被整除时，被整除，
则
综上，
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