2024-2025学年广东省深圳第二外国语学校高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳第二外国语学校高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是( )
A. B. C. D.
4.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.设函数在上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若正数，满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设函数若关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若函数，则( )
A. B. 有两个极值点
C. 曲线的切线的斜率可以为 D. 点是曲线的对称中心
10.已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是( )
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为
11.已知函数，在上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 是上的奇函数 D. 是上的奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数满足，则 ______．
13.已知正数，满足，则的最小值为______．
14.已知函数的值域为，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数是奇函数．
求的值；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知正项等比数列中，为的前项和，．
求数列的通项公式；
令，设数列的前项和，求．
17.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且．
求证：；
若的平分线交于，且，求线段的长度的取值范围．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，，．
设为中点，证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
设是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称为自邻集记集合，的所有子集中的自邻集的个数为．
直接写出的所有自邻集；
若为偶数且，求证：的所有含个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
若，求证：．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
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12.
13.
14.，
15.解：因为，
所以，
因为为奇函数，
所以，
所以．
由知，
因为为上的增函数，所以在上单调递增，
所以不等式，等价于，
即，
故，
即的取值范围是．
16.解：正项等比数列中，为的前项和，
由，可得时，，
解得；
时，，解得舍去，
可得正项等比数列的首项为，公比为，
则；
，
则
．
17.解：证明：因为，
所以由余弦定理可得，即，
所以由正弦定理可得，
所以在中，或，
又因为，
所以，
所以；
在中，由正弦定理可得，，
即，
所以，
因为是锐角三角形，且，
所以
解得，可得，
所以，
所以线段长度的取值范围是．
18.证明：因为为中点，且，
所以在中，有，且，
又平面平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，则，
由，，得，
因为，，，
所以由勾股定理，得，
又，，
所以平面；
解：如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，
可得，
，
设平面的法向量为，
由，令，得，，
所以，
由知，平面，
所以平面的一个法向量为，
记平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：的所有自邻集有：，，，，，．
证明：对于的含个元素的自邻集，
不妨设．
因为对于，都有 或，，，，，，
所以，， 或．
对于集合，
因为，所以，，，，，，
，
所以．
因为，， 或．
所以 ， ，
或 ，
所以对于任意或，，，，，，
所以集合也是自邻集．
因为当为偶数时，，
所以．
所以对于集合的含个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有个元素的自邻集与其对应．
所以，的所有含个元素的子集中，自邻集的个数是偶数．
证明：记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，，，，．
当时，，，
显然．
下面证明：．
自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为
因为，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是，
所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为．
自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素，
记自邻集除，之外最大元素为，则，每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集．
此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为；
含有最大数为的集合个数为，
含有最大数为的集合个数为，
，，
含有最大数为的集合个数为．
则这样的集合共有个．
自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有个．
综上可得，
所以，
故时，得证．
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