2024-2025学年甘肃省兰州市兰州外国语高级中学高三（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省兰州外国语高级中学高三（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在中，点在边上，记，，则( )
A. B. C. D.
4.甲乙两位同学从种课外读物中各自选读种，则这两人选读的课外读物中恰有种相同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.函数在区间的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.“”是“”的( )
A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件
7.已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则( )
A. B. C. D.
8.函数存在个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组样本数据，，，成等差数列，其中是最小值，是最大值，则下列各选项正确的是( )
A. ，，，的平均数等于，，，的平均数
B. ，，，的中位数等于，，，的中位数
C. ，，，的标准差不小于，，，的标准差
D. ，，，的极差不大于，，，的极差
10.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则( )
A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为
C. D. 的面积为
11.设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则( )
A. B.
C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若为偶函数，则 ______．
13.底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
14.设函数，则使得成立的的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边长为，，，，．
Ⅰ若，求的面积；
Ⅱ是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
16.本小题分
设为数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
如图，三棱锥中，，，，为中点．
证明；
点满足，求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知点在双曲线：上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为．
求的斜率；
若，求的面积．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：当时，．
参考答案
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15.解：，
根据正弦定理可得，
，，
，，，
在中，运用余弦定理可得，
，
，
．
，
为钝角三角形时，必角为钝角，
，
，
，
，
三角形的任意两边之和大于第三边，
，即，即，
，
为正整数，
．
16.解：，，可得时，，即，
当时，由，可得，两式相减可得，
当时，上式显然成立，
当时，，
则，
上式对，都成立，
所以，；
，
，
，
上面两式相减可得
，
化为．
17.证明：连接，，
，为中点．
，
又，，
与均为等边三角形，
，
，，
平面，
平面，
．
解：设，
，
，，
，
，
又，，
平面，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
，
，
，，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
则，令，解得，
，令，解得，，
故，，
设二面角的平面角为，
则，
故，
所以二面角的正弦值为．
18.解：将点代入双曲线方程得 ，
化简得，，故双曲线方程为，
由题显然直线的斜率存在，设：，设，
则联立双曲线得：，
故，，
，
化简得：，
故，
即，而直线不过点，故；
设直线的倾斜角为，由，，得，
由，，得，即，
联立，及得，
代入直线 得，故，
而，
由，得，
故．
19.解：因为，定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：由得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕．
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