2024-2025学年江西省上饶市弋阳二中高三（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省上饶市弋阳二中高三（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则函数的图象一定经过( )
A. 一、二象限 B. 一、三象限 C. 二、四象限 D. 三、四象限
4.已知，都是正数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.已知，满足，，则值为( )
A. B. C. D.
6.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有齿，小轮有齿如果大轮的转速为转分，小轮的半径为，那么小轮周上一点每转过的弧长是．
A. B. C. D.
7.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象若的图象关于点中心对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若函数有两个极值点，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数，其中正确命题是( )
A. 是以为最小正周期的周期函数
B. 的最大值为
C. 将函数的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合
D. 在区间上单调递减
10.已知，则以下结论正确的有( )
A. ，有零点
B. ，在上单调递增
C. 时，
D. 时，的解集为
11.定义在上的函数满足，当时，，则( )
A. 当时，
B. 当为正整数时
C. 对任意正实数，在区间内恰有一个极大值点
D. 若在区间内有个极大值点，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数，则使得成立的的解集是______．
13.设的内角，，的对边分别为，，若，则角 ______．
14.已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
求的值；
若的面积为，求边上的高．
16.本小题分
已知函数且，，其中是自然对数的底数．
当，证明：为定值，并求出函数的对称中心；
当时，若在定义域上单调递增，求实数的最小值．
17.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若，为边上一点，为的平分线，且，求的面积．
18.本小题分
已知函数．
函数与的图像关于对称，求的解析式；
在定义域内恒成立，求的值；
求证：，．
19.本小题分
已知函数，其中是自然对数的底数．
当时，求在上的值域；
当时，讨论的零点个数；
当时，从下面和两个结论中任选一个进行证明．
；．
参考答案
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15.解：，由余弦定理得，，
又因，
所以，化简得，
所以；
由得，
所以为锐角，则，
所以的面积，
所以，
设边上的高为，
则的面积，
所以，即边上的高为．
16.解：证明：当时，，其中，
，
所以，
故函数的对称中心为．
当时，，其中，
因为在定义域上单调递增，所以在上恒成立，
又，
又，当且仅当时等号成立，
得到，所以，即，
所以的最小值为．
17.解：由及正弦定理，
可得，
又，
则有，
又，，所以，
即，又，
所以，即；
由为的平分线，可得，
由，
可得，
整理得，即，
由余弦定理，可得，
即，
由可得：，解得或舍去，
故．
18.解：依题意，设图像上任意一点坐标为，
则其关于对称的点在图像上，
则，则，
故，；
令，，
则在在恒成立，
又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，
，，
下证当时，在恒成立，
令，，
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
故，在上恒成立，又，
则时，恒成立，
综上，．
由可知：，
则，即，
则，
又由可知：在上恒成立，
则在上恒成立，当当且仅当时取等，
令，，则，
即，
则，
综上，，即证．
19.解：当时，，，
，，
在上单调递减，
又，，
在上的值域为；
，令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
当时，，
，则在上有且仅有个零点．
当时，令，，
在上单调递增，
，即，又，
在上有个零点，又，
令，则，
在上单调递减，
，
，
在上有一个零点．
综上所述，时，有一个零点，
时，有个零点；
证明：选择：当，时，，
设，
当时，，，
又由知，，
当时，，
设，则，
在单调递增，，
，即在单调递增，，
综上，，即当时，，即；
选择：当，时，，
设，
当时，，，，，
当时，，
设，则，
在单调递增，，
，即在单调递增，，
综上，，即当时，，即．
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