北师大版2024-2025学年八年级数学上册强化提分系列专题专题3.2 平面直角坐标系中的面积问题【八大题型】（学生版+教师版）

专题3.2 平面直角坐标系中的面积问题【八大题型】
【北师大版】
【题型1 与两坐标轴围成的图形面积】 1
【题型2 一边在坐标轴上的图形面积】 2
【题型3 平行于坐标轴的图形的面积】 3
【题型4 各边都不在坐标轴上的图形的面积】 3
【题型5 由面积之间的关系求坐标】 5
【题型6 直线分面积求值】 5
【题型7 新定义问题中的面积】 6
【题型8 面积中的规律问题】 8
【题型1 与两坐标轴围成的图形面积】
【例1】（23-24八年级·吉林长春·期中）已知A（a，0）和B点（0，10）两点，且AB与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（　　）
A．2 B．4 C．0或4 D．4或﹣4
【变式1-1】（23-24八年级广东清远·八年级统考期末）已知A(0，4)，点B在x轴上，AB与坐标轴围成的三角形面积为2，则点B的坐标为( )
A．(1，0) B．(1，0)或(－1，0) C．(－1，0) D．(0，－1)或(0，1)
【变式1-2】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）平面直角坐标系中，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：，即.
（1）求点的勾股值；
（2）若点在第一象限且满足，求满足条件的所有点与坐标轴围成的图形的面积.
【变式1-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）已知点和点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（ ）
A．4 B．4或 C． D．2
【题型2 一边在坐标轴上的图形面积】
【例2】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（ ）．
A．25 B．250 C．2500 D．2200
【变式2-1】（23-24八年级·安徽亳州·阶段练习）如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中．则三角形ABC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式2-2】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知：，，，求△AOE的面积（ ）
A．3.5 B．2.5 C．6 D．7
【变式2-3】（23-24八年级·安徽亳州·阶段练习）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【题型3 平行于坐标轴的图形的面积】
【例3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（ ）个平方单位．
A． B．15 C．10 D．无法计算
【变式3-1】（23-24八年级·北京顺义·阶段练习）由坐标平面内的三点构成的的面积是 ．
【变式3-2】（23-24八年级·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，由点组成的三角形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式3-3】（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示）
【题型4 各边都不在坐标轴上的图形的面积】
【例4】（23-24八年级·上海静安·周测）如图，三角形ABC的面积等于（ ）
A．12 B． C．13 D．
【变式4-1】（23-24八年级·重庆长寿·期末）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积为，请写出所有满足条件的点的坐标 ．
【变式4-2】（23-24八年级·湖北鄂州·期中）如图，直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为．
(1)写出点A，B的坐标A（______），B（______）；
(2)将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到三角形，则点，，的坐标分别是（______），（______），（______）；
(3)计算三角形的面积．
【变式4-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．21.5
【题型5 由面积之间的关系求坐标】
【例5】（23-24八年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，， ，点P在y轴上，设三角形和三角形的面积相等，那么点P坐标是 ．
【变式5-1】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知点，，点在轴上，且的面积是的面积的3倍，那么点的坐标可以为 ．
【变式5-2】（23-24八年级·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标分别为，，，若的面积为面积的2倍，则的值为
【变式5-3】（23-24八年级·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，，，点C是第一象限内一点且轴，将线段经过一定的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接，，点P为y轴上一动点，当时，点P的坐标为 ．（注：表示的面积）

【题型6 直线分面积求值】
【例6】（23-24八年级·湖北十堰·期中）如图，、、、，点在轴上，直线将四边形的面积分成两部分，则的长为 ．
【变式6-1】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期中）如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方形组成的，，是x轴上的动点，当AB将图案分成面积相等的两部分时，a等于（ ）
A．1 B． C． D．
【变式6-2】（23-24八年级·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，且，．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)若动点从原点O出发沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线把四边形分成面积相等的两部分时，求点的运动时间；
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，连接，使的面积与四边形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-3】（23-24八年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，， ，点P在y轴上，设三角形和三角形的面积相等，那么点P坐标是 ．
【题型7 新定义问题中的面积】
【例7】（23-24八年级·广东河源·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，铅垂高：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，，，，则“水平底”，“铅垂高”，矩面积．若，、，、，三点的矩面积为，则的值为(　　)
A．或 B．或 C．或 D．或
【变式7-1】（23-24八年级·北京·期中）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所示，则下列结论中正确的有（ ）
①双扭线围成的面积小于6；
②双扭线内部（包含边界）包含个整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）；
③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3；
④假设点P为双扭线上的一个点，A，B为双扭线与x轴的交点，则满足三角形的面积等于3的P点有4个．
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④
【变式7-2】（23-24八年级·福建厦门·期末）在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为的点称为“吉祥点”，现有以下结论：
第一象限内有无数个“吉祥点”；
第三象限内不存在“吉祥点”；
已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为；
已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”三角形的面积记为，则．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义两点的“分解距离”为：若，则为P，Q的“分解距离”，即；若，则为P，Q的“分解距离”，即．定义两点的“和距离”为：与的和，即．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知点，则________，________
(2)若点在第一象限，且，求点B的坐标；
(3)若点（，），且，写出三个符合条件的点C的坐标，并判断这些点是否在一条直线上，若在一条直线上，请直接写出这条直线与坐标轴围成的面积；若不在，请说明理由．
【题型8 面积中的规律问题】
【例8】（23-24八年级·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点按照图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，…，按照这样的规律运动下去，则三角形的面积是 ．

【变式8-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，在一单位长度为的方格纸上，依如所示的规律，设定点、、、、、、、 ，连接点、、组成三角形，记为，连接、、组成三角形，记为 ，连、、组成三角形，记为（为正整数），请你推断，当为时，的面积（ ）

A． B． C． D．
【变式8-2】（23-24八年级·湖南邵阳·期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第n次移动到点，则的面积是（ ）

A．m B． C．m D．m
【变式8-3】（23-24八年级·全国·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A（1，2），A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是________，B4的坐标是________；
（2）若按（1）中找到的规律将三角形OAB进行n次变换，得到三角形OAnBn，推测An的坐标是________，Bn的坐标是________．
（3）求出△OAnBn的面积．
专题3.2 平面直角坐标系中的面积问题【八大题型】
【北师大版】
【题型1 与两坐标轴围成的图形面积】 1
【题型2 一边在坐标轴上的图形面积】 3
【题型3 平行于坐标轴的图形的面积】 6
【题型4 各边都不在坐标轴上的图形的面积】 9
【题型5 由面积之间的关系求坐标】 13
【题型6 直线分面积求值】 16
【题型7 新定义问题中的面积】 20
【题型8 面积中的规律问题】 25
【题型1 与两坐标轴围成的图形面积】
【例1】（23-24八年级·吉林长春·期中）已知A（a，0）和B点（0，10）两点，且AB与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（　　）
A．2 B．4 C．0或4 D．4或﹣4
【答案】D
【分析】根据点A、B的坐标可找出OA、OB的长度，再根据三角形的面积公式即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】∵A（a，0），B（0，10），
∴OA=|a|，OB=10，
∴S△AOB=OA OB= 10|a|=20，
解得：a=±4．
故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积公式列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．
【变式1-1】（23-24八年级广东清远·八年级统考期末）已知A(0，4)，点B在x轴上，AB与坐标轴围成的三角形面积为2，则点B的坐标为( )
A．(1，0) B．(1，0)或(－1，0) C．(－1，0) D．(0，－1)或(0，1)
【答案】B
【详解】∵三角形的面积=×4×|OB|=2，
∴|OB|=1，
∴B（1，0）或（-1，0）．
故选：B.
【点睛】此题主要考查了平面图形与坐标的关系，利用三角形的面积求出OB的长是关键，特别是要明确注意：在x轴上到原点的距离为一个定值的点有两个.
【变式1-2】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）平面直角坐标系中，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：，即.
（1）求点的勾股值；
（2）若点在第一象限且满足，求满足条件的所有点与坐标轴围成的图形的面积.
【答案】（1）4；（2）
【分析】（1）由勾股值的定义即可求解；
（2）设B点的坐标为（x，y），由「B」=3，得到方程|x|+|y|=3，得到，于是得到所有点B围成的图形是边长为3的三角形，则面积可求．
【详解】解：（1）；
（2）设，由知，，
又在第一象限，，，得，
即 ，
故所有点组成的图形与坐标轴交点坐标分别为：，，
故其面积为：.
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，正确理解勾股值的定义是解题的关键．
【变式1-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）已知点和点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（ ）
A．4 B．4或 C． D．2
【答案】B
【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．
根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意取正负数都符合题意．
【详解】解：直线与坐标轴围成的三角形的面积等于10，，
那么，
解得：，
所以或．
故选：B．
【题型2 一边在坐标轴上的图形面积】
【例2】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（ ）．
A．25 B．250 C．2500 D．2200
【答案】C
【分析】根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，，，，
∵图上一个单位长度表示10米，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
【变式2-1】（23-24八年级·安徽亳州·阶段练习）如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中．则三角形ABC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】底AB=4，高是点C到x轴的距离，根据三角形面积公式求得即可．
【详解】解：由图象可知，A（0，0），B（4，0），
∴AB＝4
∵C（﹣4，4），
点C到x轴的距离是4，△ABC的高就是4，
∴S△ABC＝＝8，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2-2】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知：，，，求△AOE的面积（ ）
A．3.5 B．2.5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据点的坐标，求得，根据进行计算即可求解．
【详解】解： ，，，
，，
则
故选A
【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
【变式2-3】（23-24八年级·安徽亳州·阶段练习）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据三角形的面积求出的长，再分点在点的左边与右边两种情况讨论求解．
【详解】解：点，
，
解得，
若点在点的左边，则，
此时，点的坐标为，
若点在点的右边，则，
此时，点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
【题型3 平行于坐标轴的图形的面积】
【例3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（ ）个平方单位．
A． B．15 C．10 D．无法计算
【答案】B
【分析】根据平行四边形在坐标系中的位置得到轴，，高为，利用面积公式直接计算可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴轴，，高为，
∴平行四边形的面积，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，正确理解平行四边形的性质是解题的关键．
【变式3-1】（23-24八年级·北京顺义·阶段练习）由坐标平面内的三点构成的的面积是 ．
【答案】4
【分析】根据得轴，轴，继而得到直角三角形，计算面积即可，本题考查了点的坐标特征与坐标轴的关系，熟练掌握判定坐标与坐标轴的关系是解题的关键．
【详解】∵
∴轴，轴，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：4．

【变式3-2】（23-24八年级·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，由点组成的三角形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】根据A和B两点的纵坐标相等，可得线段的长，再根据点C的纵坐标，可得以为底的的高，从而的面积可求．
【详解】解析：由点得，
点C在直线上，与直线平行，且平行线间的距离为4，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及如何求相应线段的长，是解题的关键．
【变式3-3】（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示）
【答案】/
【分析】本题主要考查了坐标与图形，延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G，根据，，，，得出，，，，利用割补法求出四边形的面积即可．
【详解】解：延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G，
∵，，，，
∴轴，轴，
∴，，
∴，，
，
，
∴四边形的面积为：
．
故答案为：．
【题型4 各边都不在坐标轴上的图形的面积】
【例4】（23-24八年级·上海静安·周测）如图，三角形ABC的面积等于（ ）
A．12 B． C．13 D．
【答案】D
【分析】过点A作轴于D，利用，求出，和进而进行求解即可．
【详解】过点A作轴于D，如图所示：
由题意可得，，，
，，
∴，
∴，
，
即，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用和差法转化求三角形的面积，正确读懂题意是解题的关键．
【变式4-1】（23-24八年级·重庆长寿·期末）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积为，请写出所有满足条件的点的坐标 ．
【答案】或或或
【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点位于不同的数轴分类讨论是解题的关键．分点在轴上和点在轴正半轴上和点在轴负半轴上上三种情况，利用三角形的面积公式求出或的长度，即可求解．
【详解】解：若点在轴上，则，
解得，
所以，点的坐标为或，即或，
若点在轴正半轴上，则，
解得，
所以，点的坐标为，
若点在轴负半轴上，则，
解得，
所以，点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或或或，
故答案为：或或或．
【变式4-2】（23-24八年级·湖北鄂州·期中）如图，直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为．
(1)写出点A，B的坐标A（______），B（______）；
(2)将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到三角形，则点，，的坐标分别是（______），（______），（______）；
(3)计算三角形的面积．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)5
【分析】本题考查了坐标与图形、平移等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据直角坐标系中三点的位置即可求解；
（2）根据平移方向和距离即可求解；
（3）利用“割补法”即可求解；
【详解】（1）解：根据直角坐标系中三点的位置可得：，，
故答案为：，；
（2）解：∵将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，
∴，，，
即：，，，
故答案为：，，；
（3）解：三角形的面积．
【变式4-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．21.5
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，
∵点，点，点，
∴，
∴三角形的面积是：．
故选：B
【题型5 由面积之间的关系求坐标】
【例5】（23-24八年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，， ，点P在y轴上，设三角形和三角形的面积相等，那么点P坐标是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键．设点坐标是，先分别求出三角形和三角形的面积，再根据三角形和三角形的面积相等建立方程，解方程即可得答案．
【详解】解：如图，由题意，设点坐标是，
∵，， ，
∴，，三角形的边上的高为1，
∴三角形的面积为，三角形的面积为，
∵三角形和三角形的面积相等，
∴，
解得或，
则点坐标是或，
故答案为：或．
【变式5-1】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知点，，点在轴上，且的面积是的面积的3倍，那么点的坐标可以为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；设点，则有，，然后根据与的面积关系可进行求解．
【详解】解：设点，则有，，
∵的面积是的面积的3倍，
∴
解得：或，
∴点或；
故答案为或．
【变式5-2】（23-24八年级·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标分别为，，，若的面积为面积的2倍，则的值为
【答案】12或
【分析】由点的横坐标相等，得出轴，，点到的距离为，根据的面积为面积的2倍，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵、、的坐标分别为，
∴轴，，
点到的距离为
∵若的面积为面积的2倍，
∴
即
解得或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，两点之间的距离，点到直线的距离，正确建立方程是解题的关键．
【变式5-3】（23-24八年级·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，，，点C是第一象限内一点且轴，将线段经过一定的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接，，点P为y轴上一动点，当时，点P的坐标为 ．（注：表示的面积）

【答案】或．
【分析】根据三角形的面积求出，然后利用平移的性质可求点D坐标，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点E，在y轴取点P，连接，

∵轴，将线段经过一定的平移得到线段，，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴点，
∵将线段进行适当的平移得到线段，，
∴，
∴点，
∵，
∴，
∴，
∵点，
∴或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了作图-平移变换，平面直角坐标系，三角形面积公式，坐标的平移等知识，掌握平移的性质是解题的关键．
【题型6 直线分面积求值】
【例6】（23-24八年级·湖北十堰·期中）如图，、、、，点在轴上，直线将四边形的面积分成两部分，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，作轴，与轴交于点，用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出的面积，再求出的值，进而可得的值，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键．
【详解】解：如图，作轴，与轴交于点，
由题意可得，
，
，
∴，
∵，
∴，
当时，即，
解得，
∴点的坐标为，
∴；
当时，即，
解得，
∴点的坐标为，
∴；
综上所述，，
故答案为：．
【变式6-1】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期中）如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方形组成的，，是x轴上的动点，当AB将图案分成面积相等的两部分时，a等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形面积公式，结合题意列出方程并求解即可．
【详解】解：如下图，当AB将图案分成面积相等的两部分时，
则有，
即，解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意列出方程是解题关键．
【变式6-2】（23-24八年级·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，且，．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)若动点从原点O出发沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线把四边形分成面积相等的两部分时，求点的运动时间；
(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，连接，使的面积与四边形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)4
(3)，
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了线段长的求法，点的坐标的确定，三角形四边形面积的计算，解本题的关键是面积的计算．
（1）根据线段的长和线段的特点确定出点的坐标；
（2）先求出，从而得到 ，求出，即可得到答案；
（3）根据四边形的面积求出的面积是32，最后求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵点A、C在x轴上，．
∴，
∵C在y轴上，，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：∵，
设运动时间t秒，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，
∵，
∴
∴ ， ，
∴，．
【变式6-3】（23-24八年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，， ，点P在y轴上，设三角形和三角形的面积相等，那么点P坐标是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键．设点坐标是，先分别求出三角形和三角形的面积，再根据三角形和三角形的面积相等建立方程，解方程即可得答案．
【详解】解：如图，由题意，设点坐标是，
∵，， ，
∴，，三角形的边上的高为1，
∴三角形的面积为，三角形的面积为，
∵三角形和三角形的面积相等，
∴，
解得或，
则点坐标是或，
故答案为：或．
【题型7 新定义问题中的面积】
【例7】（23-24八年级·广东河源·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，铅垂高：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，，，，则“水平底”，“铅垂高”，矩面积．若，、，、，三点的矩面积为，则的值为(　　)
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据题意可以求得的值，然后再对进行讨论，即可求得的值．
【详解】由题意可得，
“水平底”，
当时，，
则，
解得，，
故点的坐标为，；
当时，，
故此种情况不符合题意；
当时，，
则，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题．
【变式7-1】（23-24八年级·北京·期中）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所示，则下列结论中正确的有（ ）
①双扭线围成的面积小于6；
②双扭线内部（包含边界）包含个整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）；
③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3；
④假设点P为双扭线上的一个点，A，B为双扭线与x轴的交点，则满足三角形的面积等于3的P点有4个．
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形，①根据、双扭线围成的面积即可判断；②由图即可判断；③两点与原点距离最大，即可判断；④设的高为，可得即可判断；
【详解】解：如图所示：
，
由对称性可知：双扭线围成的面积，故①错误；
由图可知：双扭线内部包含4个整数点，边界上有7个整数点，共11个，故②正确；
由图可知：两点与原点距离最大，为3，故③正确；
设的高为，
∵
∴
由图可知：点均满足题意，故④正确；
故选：C
【变式7-2】（23-24八年级·福建厦门·期末）在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为的点称为“吉祥点”，现有以下结论：
第一象限内有无数个“吉祥点”；
第三象限内不存在“吉祥点”；
已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为；
已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”三角形的面积记为，则．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面直角标系中象限的特点，逐一判断即可．
【详解】由横、纵坐标之和为的点称为“吉祥点”，
则第一象限内有无数个“吉祥点”，故说法正确；
∵第三象限的横、纵坐标都为负数，
∴第三象限内不存在“吉样点”，故说法正确；
∵，，
∴轴，
∵点是“吉祥点”且在坐标轴上，
∴点或，
则到直线的距离为或，故说法错误；
∵，，
∴轴，，
∵点是第一象限内的“吉祥点”，
∴设，则有：，
根据题意可知：，
则：，故说法正确；
综上可知，说法正确；
故选．
【点睛】此题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
【变式7-3】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义两点的“分解距离”为：若，则为P，Q的“分解距离”，即；若，则为P，Q的“分解距离”，即．定义两点的“和距离”为：与的和，即．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知点，则________，________
(2)若点在第一象限，且，求点B的坐标；
(3)若点（，），且，写出三个符合条件的点C的坐标，并判断这些点是否在一条直线上，若在一条直线上，请直接写出这条直线与坐标轴围成的面积；若不在，请说明理由．
【答案】(1)2；3
(2)或；
(3)，，；符合条件的点C在一条直线上；这条直线与坐标轴围成的面积为
【分析】本题主要考查坐标系下两点间的距离．理解并掌握和的定义，是解题的关键．
（1）根据和的定义，进行计算即可；
（2）分或两种情况讨论求解即可；
（3）①根据，，，得出，说明符合条件的点C在一条直线上，求出与坐标轴围成的三角形的面积即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
；
故答案为：2；3．
（2）解：∵，
∴或，
∵B点在第一象限，
∴或，
∴或，
即点B的坐标为或；
（3）解：∵，
又∵，，
∴，
当时，，即此时，
当时，，即此时，
当时，，即此时，
∵符合条件的点C的横纵坐标符合，即，
∴符合条件的点C在一条直线上，如图所示：
这条直线与坐标轴围成的面积为．
【题型8 面积中的规律问题】
【例8】（23-24八年级·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点按照图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，…，按照这样的规律运动下去，则三角形的面积是 ．

【答案】1012
【分析】根据图形可得，当点A的下标为奇数时，该点在x轴上，再依次计算出，，的面积，总结出一般规律，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
，，，……，
∵，
∴，
，
，
，
……
，
当时，解得：，
∴，
故答案为：1012．
【点睛】本题主要主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是根据图形和题意，总结出各个三角形面积变化的一半规律．
【变式8-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，在一单位长度为的方格纸上，依如所示的规律，设定点、、、、、、、 ，连接点、、组成三角形，记为，连接、、组成三角形，记为 ，连、、组成三角形，记为（为正整数），请你推断，当为时，的面积（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形计算发现：第一个三角形的面积是，第二个三角形的面积是，第三个图形的面积是，即第个图形的面积是，即可求得，△的面积．
【详解】由题意可得规律：第个图形的面积是，
所以当为时，
的面积．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律，通过计算前面几个具体图形的面积发现规律是解题关键．
【变式8-2】（23-24八年级·湖南邵阳·期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到点，第2次移动到点……第n次移动到点，则的面积是（ ）

A．m B． C．m D．m
【答案】C
【分析】确定从到水平移动的距离即可求解．
【详解】解：由图可知：从到需要移动的次数为：
水平移动的距离为：（m）
从到需要移动的次数为：
水平移动的距离为：（m）
…
依此类推：从到需要移动的次数为：
水平移动的距离为：（m）
∴的面积为：
故选：C
【点睛】本题考查规律题．根据题意确定一般规律是解题关键．
【变式8-3】（23-24八年级·全国·专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A（1，2），A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是________，B4的坐标是________；
（2）若按（1）中找到的规律将三角形OAB进行n次变换，得到三角形OAnBn，推测An的坐标是________，Bn的坐标是________．
（3）求出△OAnBn的面积．
【答案】（1）(16，2)， (32，0)；（2）(2n，2)， (2n+1，0)；（3）．
【分析】（1）观察图形并结合已知条件，找到An的横坐标、纵坐标的规律，及Bn的横坐标、纵坐标的规律，即可解题；
（2）根据规律：An的横坐标是2n，纵坐标都是2，得到An 的坐标是(2n，2)，Bn的横坐标是2n＋1，纵坐标都是0，得到Bn的坐标是(2n＋1，0)；
（3）分别计算、、的面积，找到面积规律的面积为: .
【详解】解：（1）A（1，2），A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2）
的横坐标的横坐标 的横坐标的横坐标，三个点的纵坐标都是2，
的横坐标是，纵坐标是0，
，
又B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0），
的横坐标的横坐标 的横坐标，三个点的纵坐标都是0，
的横坐标，纵坐标是2，
故答案为：(16，2), (32，0)；
（2）由A1（2，2），A2（4，2），A3（8，2）
可以发现它们各点坐标的关系为：横坐标是2n，纵坐标都是2，得到An 的坐标是(2n，2)，
由B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）
可以发现，它们各点坐标的关系为：横坐标是2n＋1，纵坐标都是0，得到Bn的坐标是(2n＋1，0)，
故答案为：(2n，2)，(2n＋1，0)；
（3）的面积为，的面积为，的面积为，
据此规律可得的面积为: .
【点睛】本题考查平面直角坐标系与图形规律，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.
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