北京市京源学校2024-2025学年第一学期初三数学10月月考试卷(PDF版，无答案)

2024-2025 学年初三年级 10 月学科诊断
数学试卷
(满分 120 分，时间 120 分钟)
班级 姓名 学号 成绩
一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）
第 1- 8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
x 2 y x
1．如果 ，那么 的值是（ ）
y 3 y
1 1 5 5
A． B． C． D．
3 2 3 2
2．抛物线 y＝（x﹣1）2 +3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
3．如图，线段 BD，CE相交于点 A，DE∥BC，若 AB＝8，
AD＝4，DE＝3，则 BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．对于二次函数 y= -(x-1)2的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是 y轴 D．顶点在 x轴上
5．如果将抛物线 y x2向上平移 3个单位长度，向左平移 1个单位，得到新的抛物线的
表达式是（ ）
A． y x 1 2 3 B． y x+1 2 +3 C． y x 1 2 3 D． y x 1 2 +3
6．已知点 A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线 y＝-2（x﹣1）2+1 上，则下列结论正确
的是（ ）
A．1＜y1＜y2 B．1＜y2＜y1 C．y1＜y2＜1 D．y2＜y1＜1
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7．如图，在正方形网格上有 5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：
①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三
角形是（ ）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
8．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量 y与变量 x之间的函数关系可以用如图所
示的图象表示的是（ ）
A．圆的面积 y与它的半径 x
B．正方形的周长 y与它的边长 x
C．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积 y与一边长 x
D．小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间 y与平均速度 x
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
AD
9．如图，在△ABC中，DE//BC， 2， 若 AE=6，则 EC
BD
的值为 ．
10．如图，在△ABC中，点D，E分别在边 AB，AC上，添加一个条
件使得△ADE∽△ACB，添加的一个条件是 ．
11．如图，平行四边形 ABCD，F为 BC的 中点，延长 AD
至点 E，使 DE：AD＝1：3，连接 EF交 DC于点 G，则 S△DEG：
S△CFG的值为________．
12．已知 y是 x的二次函数，表中列出了部分 y与 x的对应
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值：
y 0 1 2
x 0 1 1
则该二次函数有_______（填“最小值”或“最大值”）.
13．如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点 D，
AB＝3，BC＝5，则 BD＝ ．
14．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置刚
好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距
离为 2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为 12m.若小明的眼
睛与地面的距离为 1.5 m，则旗杆的高度为 m．
15．如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，点 E在 AB上，DE平分∠ADC，
CE平分∠DCB．给 出下面三个结论：
① ∠DEC＝90°；
② AE＝EB；
③ AD·BC＝AE·EB．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
16．将矩形纸片 ABCD按如下步骤进行操作：
（1）如图1，先将纸片对折，使 BC和 AD重合，得到折痕 EF ；
（2）如图 2，再将纸片分别沿 EC， BD所在直线翻折，折痕 EC和 BD相交于点O .
那么点O到边 AB的距离与点O到边CD的距离的比值是 ．
图一 图二
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三、解答题（本题共 60 分，第 17-23 题每题 5 分，第 24-25 题 6 分，第 26 题 7 分，第
27 题 6 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
1
17．计算： ( 2)0 2 18 （ ） 1
2
18．解不等式组： 3x 4 2x 1，

5x 3
x. 2
19．已知 x 1是关于 x 的方程 x2 2ax a2 3的一个根，求代数式 a(a 1) a2 5a的
值.
20．如图，在△ABC中，点 D在 AB边上，∠ACD=∠ABC，
求证：（1）△ACD∽△ABC
（2）若 AD=2，AB=5.求 AC的长．
21 1．在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y kx b (k 0)的图象由函数 y x的图象
3
平移得到，且经过点 ( 3, 3) .
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当 x 3时，对于 x的每一个值，函数 y mx (m 0)的值大于函数 y kx b的
值，直接写出m的取值范围.
22．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y a(x 3)2 1经过点 (2,1)．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）已知 P（ x1，1），Q（ x2，1）两点都在该抛物线上，那么 x1 x2 ______ ;
（3）如果点 P(x，y)是此二次函数的图象上一点，若 0≤x≤4 ，则 y的取值范围为_______.
23．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长 25m)
的空地上修建一个矩形小花园 ABCD，小花园一边靠墙，另三
边用总长 80m 的栅栏围住，如下图所示.若设矩形小花园 AB
边的长为 xm，面积为 ym2.
（1）求 y 与 x之间的函数关系式；
（2）当菜地面积为 600m2时，栅栏的三边长各为多少？
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24．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022年 2 月 4日至 2月 20 日在北京举行，石
景山区作为北京冬奥组委机关驻地和冬奥会滑雪大跳台赛事场地，将迎来作为“双奥之区”
的高光时刻．随着冬奥会的脚步越来越近，石景山教育系统大力普及青少年冰雪运动项
目和知识，越来越多的青少年走向冰场、走进雪场、了解冰雪运动知识．某校在距离冬
奥会开幕倒计时 300 天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛，七、八年级各有 200名学生
参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了 20名学生的成
绩进行调查分析，过程如下（数据不完整）．
收集数据
七年级 66 70 71 78 71 78 75 78 58 a
63 90 80 85 80 89 85 86 80 87
八年级 61 65 74 70 71 74 74 76 63 b
91 85 80 84 87 83 82 80 86 c
整理、描述数据
七年级成绩统计情况 八年级成绩统计情况
成绩 x/分数
频数 频率 频数 频率
50≤x≤59 1 0.05 0 0
60≤x≤69 2 0.10 3 0.15
70≤x≤79 6 0.30
80≤x≤89 m 10 0.50
90≤x≤100 1 0.05 1 0.05
（说明：成绩 80 分及以上为优秀，60~79 分为合格，60 分以下为不合格）
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 77.5 79 80
八年级 77.4 n 74
请根据所给信息，解答下列问题：
（1） a= ，m= ，n= ；
（2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前 50%，在八年级只能排在后
50%，那么估计小冬的成绩可能是 ；
（3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为 ．
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25． 食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留.某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方
式对某种农药去除率的影响．
方式一：采用清水浸泡．
记浸泡时间为 t分钟，农药的去除率为 y1%，部分实验数据记录如下：
t（分） 5 8 10 12 15 20
y1(%) 30 50 57 52 37 33
方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间．
记食用碱溶液的浓度为 x%，农药的去除率为 y2%，部分实验数据记录如下：
x(%) 2 5 7 10 12 15
y2(%) 43 52 57 76 57 25
结合实验数据和结果，解决下列问题：
（1）通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率 y1(%)与浸泡
时间 t(分)之间的关系，方式二中农药的去除率 y2(%)与食用碱溶液的浓度 x(%)之间的关
系，请分别在下面的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象：
（2）利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约
为 分钟．
（3）方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，
要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度 x%中，x 的取值范围可以
是 ．
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26．已知：在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于点 E，DF平分∠ADC，交线段 AE于 F.
（1） 如图 1，若 AE=AD，延长 EA到点 G，使得 AG=BE，连结 DG，依题意补全图形
并证明 DG=AB；
（2） 在（1）的条件下，用等式表示线段 CD，AF，BE之间的数量关系，并证明；
（3） 如图 2，若 AE∶AD=1∶2，用等式表示线段 CD，AF，BE之间的数量关系，直
接写出结果．
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27．甲、乙、丙三人相约到某游乐园游玩. 该园区在地图上的形状可近似看成等腰直角三
角形，共有三个入口 A，B，C.
图 1 图 2
（1） 园区附近有四个公交车站点，即 1 号、2 号、3 号和 4 号车站. 甲和乙想到园区附
近汇合后一起入园，乙在其中一个站点下车后，两人通过手机共享位置得知甲的位置如
图 1 所示. 两人约定如下：
I. 确定距离自己最近的入口；
II. 如果两人确定的入口相同，则到此入口处汇合并入园；
III. 如果两人确定的入口不同，则到这两个入口的中点处汇合后，再沿逆时针方向绕园区
外围至最近的入口入园.
① 若乙在 4 号车站下车，则甲、乙入园的入口应为 ______________ ；
② 若甲、乙最终在 B 入口处入园，则乙下车的站点可以为______________；
（2）丙从 C 入口先行入园，此时甲、乙还未入园. 丙在地图上建立平面直角坐标系 xOy，
如图 2 所示，其中入口 A，B，C 的坐标分别为（0，4），（-4，0），（4，0）. 园区内有行
驶路线为 CG 的摆渡车（乘客可以在路线上任意一点上下车）.点 G 坐标为（-3，1）. 丙
想乘坐摆渡车和甲、乙汇合，其下车点记为 M，M 到三个入口 A，B，C 的最大距离记为
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a，到 M 的距离最近的入口记为“理想入口”.
① 如果丙希望在 a 最小处下车，则点 M 的坐标为_______________；
② 若对于摆渡车行驶路线上任意一段长度为 m 的路段，都同时存在“理想入口”分别为
A，B，C 的下车点，则 m的最小值为_______________.
四、附加题（本题共 20 分，每题 5 分）
2 2
28.下列关于二次函数 y (x m) m 1（m为常数）的结论：①该函数的图象与
函数 y x2 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当 x 0时，y随
x 2的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 y x 1的图象上，其中所有正确结论
的序号是 .
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4
29． , , ,那么 的值为
x y z 2 y z x 3 z x y 4 x y z
30．在平面直角坐标系 xOy中，矩形 OABC，A(0，3)，
B(2，3)，C(2，0)， 点 M 在边 OA上，OM=1．点 P
在边 AB上运动，连接 PM，点 A 关于直线 PM 的对称
点为 A'． 若 PA=x，MA'+A'B=y， 下列图象能大致反映
y 与 x 的函数关系的是 .
A． B． C． D．
31.如图，在矩形 ABCD中，AB=2BC,点 M是 CD边的中点，点 E ,F分别是边 AB,BC边
上的点，且 AF⊥ME 于点 G,若 EB=2,BF=1,则四边形 BFGE 的面积是 .
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草稿纸
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