2024-2025学年河北省省级联测高三（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省省级联测高三（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，，，若为纯虚数，则( )
A. 或 B. C. D.
3.已知向量满足，且，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面是面积为的正方形，则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
6.设为正项等比数列的前项和，，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，则实数的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知定义域为的函数不是常函数，且满足，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C.
D.
10.已知函数，若，则下列说法正确的是( )
A. 函数的单调递增区间为
B. 函数的极大值点为
C. 若，则的值域为
D. 若，都有成立，则的取值范围为
11.已知曲线：，则下列说法正确的是( )
A. 点在曲线上
B. 直线：与曲线无交点
C. 设直线：，当时，直线与曲线恰有三个公共点
D. 直线：与曲线所围成的图形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，，，若曲线在处的切线方程为，则 ______．
13.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，且点在第一象限，满足若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为______．
14.某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当 ______时，取得最大值．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知椭圆的左焦点为，上、下顶点分别为，，且，点在上．
求椭圆的方程；
过左焦点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，设，，证明：为定值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，为钝角三角形且，，是的中点．
证明：；
若直线与底面所成的角为，求平面与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
证明：函数的极大值大于；
若函数有个零点，求实数的取值范围；
已知，，，，是图象上四个不重合的点，直线为曲线在点处的切线，若，，三点共线，证明：．
19.本小题分
已知有限集，若中的元素满足，则称为“元重生集”．
集合是否为“元重生集”，请说明理由；
是否存在集合中元素均为正整数的“元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；
若，证明：“元重生集”有且只有一个，且．
参考答案
1.
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8.
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12.
13.
14.或
15.解：由，整理得，
结合正弦定理，化简得，
所以，
因为中，，
所以，可得，结合，可得；
由得，即，
因为的面积，所以，解得，
根据余弦定理，可得，
即，解得舍负，故的周长为．
16.解：根据题意可知，，所以，
由于点在上，因此，
即，
解得，所以，
因此椭圆的方程为．
根据已知得直线的斜率必存在，所以设直线的方程为，
代入椭圆方程，可得，，
设，，
所以，
又因为，，则根据，
可得，
因此，
又由于，
因此为定值．证明完毕．
17.解：证明：由，得，，
则，
所以，，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
如图，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，
则为在底面内的射影，
所以为直线与底面所成的角，即，
设，得，
中．，
在中，，
由余弦定理得，
所以，所以，
如图，过点作，则底面，
以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面和平面的法向量分别为，
则，，
则，
令，，则，
所以，
则，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的正弦值为．
18.解：证明：由题，，
令，解得，
或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，
由单调性可知，
所以函数的极大值大于；
由可知，当时，有极大值，且极大值为，
因为，；，，，且当时，有极小值，
所以要使得函数有个零点，应满足，
即，
即，因为，
所以，
解得，
所以实数知的取值范围为；
证明：直线的斜率，
因为，
所以，
同理可得，，
因为，，三点共线，
则有，
整理得，
因为，
所以，
即，又，
所以，
整理得，因为，
所以，即，
所以．
19.解：，
因为，
所以集合不是“元重生集”．
设正整数集为“元重生集”，
则，
设则，解得，
只有，满足要求，又，得
综上，只有满足要求，
故存在个集合中元素均为正整数的“元重生集”，即．
证明：不妨设，
由，得，
当时，，故，则，无解，则不可能是“元重生集”，
所以当时，不存在“元重生集”；
当时，由可知，有且只有个“元重生集”，即，
当时，，
又，故，
事实上，在上恒成立，
故当时，不存在“元重生集”，
所以，若，“元重生集”有且只有一个，且．
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