鲁教版2024-2025学年度第一学期九年级上册数学 2.2 30°，45°，60°的三角函数值 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 鲁教版2024-2025学年度第一学期九年级上册数学 2.2 30°，45°，60°的三角函数值 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 146.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-12 18:54:37 | ||
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文档简介
鲁教版2024-2025学年度第一学期九年级数学2.2 30°，45°，60°的三角函数值 同步练习
班级： 姓名：
亲爱的同学们：
练习开始了，希望你认真审题，细致做题，运用所学知识解决本练习。祝你学习进步！
一、单选题
1．在△ABC中，a：b：c=1：1：，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．若α为锐角，sinα=，则（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
3．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关
4．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA= ，cosB= ，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
5．已知在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知sinα＜0.5，那么锐角α的取值范围是（ ）
A．60°＜α＜90° B．30°＜α＜90°
C．0°＜α＜60° D．0°＜α＜30°
7．在 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于( )
A． B． C． D．
9．若cosα>，则锐角α的范围是（ ）
A．0＜α＜30° B．30°＜α＜90°
C．60°＜α＜90° D．45°＜α＜60°
10．如图，P为等边△ABC的中线AD上一点，AD=3AP，在边AB、AC上分别取点M、N，使△PMN为以MN为底的等腰直角三角形，若AP=1+，则MN的长为（ ）
A．2 B．4+2 C．2+ D．4+2或2
二、填空题
11．计算：4sin30°－2cos30°＋tan60°＝
12．如果 ，那么锐角 °．
13．已知α与β互为余角，且cos（115°﹣α+β）= ，则α= ，β= ．
14．比较大小：tan30° 0.5（填＞，＜，或＝）.
15．已知OM⊥ON，斜边长为4的等腰直角△ABC的斜边AC在射线上，顶点C与O重合，若点A沿NO方向向O运动，△ABC的顶点C随之沿OM方向运动，点A移动到点O为止，则直角顶点B运动的路径长是 ．
三、解答题
16．先化简，再求值： ，其中 .
17．计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（-）﹣2+．
18．在直角△ABC中，∠C=90°，若=5，求tanA．
19．已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x﹣3=0的一个根，求2sin2α+cos2α﹣tan（α+15°）的值．
20．某景区为方便游客参观，在每个景点均设置两条通道，即楼梯和无障碍通道．如图，已知在某景点P处，供游客上下的楼梯倾斜角为30°（即∠PBA=30°），长度为4m（即PB=4m），无障碍通道PA的倾斜角为15°（即∠PAB=15°）．求无障碍通道的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin15°≈0.21，cos15°≈0.98）
21．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB=45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据： =1.414， =1.732）
22．某海船以 海里/小时的速度向北偏东70°方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东40°方向，5小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西65°方向，求此时灯塔B到C处的距离。
23．如图，海中有一小岛P，在距小岛16 海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东45°，且A，P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，有无触礁的危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向改变航向，才能安全通过这一海域？
24．计算：cos245°+tan60° cos30°﹣3cot260°．
1．D
2．C
3．B
4．B
5．C
6．D
7．A
8．A
9．A
10．D
11．2
12．30
13．80°；10°
14．＞
15．8﹣4
16．解：原式=
=
= ，
当 时，
原式=
=0 .
17．解：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（-）﹣2+，
=|2﹣|﹣1+4+，
=2﹣﹣1+4+，
=5．
18．解：由正切等于正比余弦，得=5，化简，得1+2cosA=5sinA．再有正弦余弦，得1+2cosA=5.1+4cosA+cos2A=25（1﹣cos2A）．解得cosA=．sinA===0.562tanA===1.47．
19．解：解方程x2+2x﹣3=0得：x1=1，x2=﹣3，∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°，∴2sin2α+cos2α﹣tan（α+15°）=2sin245°+cos245°﹣tan60°=2 （）2+（）2﹣ =1+﹣3=．
20．解：在Rt△PBC中，PC=PB sin∠PBA=4×sin30°=2m，
在Rt△APC中，PA=PC÷sin∠PAB=2÷sin15°≈9.5m．
答：无障碍通道的长度约是9.5m
21．解：由题意知，AH=10米，BC=10米，
在Rt△ABC中，∵∠CAB=45°，
∴AB=BC=10米
在Rt△DBC中，∵∠CDB=30°，
∴DB= =10 （米）
∵DH=AH﹣DA
=AH﹣（DB﹣AB）
=10﹣10 +10
=20﹣10
≈2.7（米）
∴建筑物需要拆除．
22．解：过点B作BD⊥AC于点D.
因为∠MAB=40°，∠MAC=70°，
所以∠BAC=70°-40°=30°，
又因为∠NCB=65°，∠NCA=180°-70°=110°，
所以∠ACB=45°，
所以DB=CD，AD= .
设CD=x，则BD=x，AD= .
所以 +x=5× ，解得x=10.
所以BC= .
此时灯塔B到C处的距离是 海里.
23．解：如图，过P作PC⊥AM于C，则∠PCA=90°，且PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离，
∵∠PAM=90°﹣45°=45°，
∴∠APC=45°=∠PAC，
∴PC=AC，
由勾股定理得：2PC2=AP2=322，
∴PC=16 ，
16 海里＜16 海里，
∴轮船继续向正东方向航行，有触礁的危险；
设A沿AD方向航行，正好没有触礁的危险，如图：
过P作PE⊥AD于E，则此时PE=16 海里，
在Rt△PAE中，sin∠PAE= ，
∴∠PAE=60°，
∠MAD=60°﹣45°=15°，
即轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行，才能安全通过这一海域．
24．解：原式=（）2+×﹣3×（）2
=1．
班级： 姓名：
亲爱的同学们：
练习开始了，希望你认真审题，细致做题，运用所学知识解决本练习。祝你学习进步！
一、单选题
1．在△ABC中，a：b：c=1：1：，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．若α为锐角，sinα=，则（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
3．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关
4．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA= ，cosB= ，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
5．已知在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知sinα＜0.5，那么锐角α的取值范围是（ ）
A．60°＜α＜90° B．30°＜α＜90°
C．0°＜α＜60° D．0°＜α＜30°
7．在 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA=，那么tanA等于( )
A． B． C． D．
9．若cosα>，则锐角α的范围是（ ）
A．0＜α＜30° B．30°＜α＜90°
C．60°＜α＜90° D．45°＜α＜60°
10．如图，P为等边△ABC的中线AD上一点，AD=3AP，在边AB、AC上分别取点M、N，使△PMN为以MN为底的等腰直角三角形，若AP=1+，则MN的长为（ ）
A．2 B．4+2 C．2+ D．4+2或2
二、填空题
11．计算：4sin30°－2cos30°＋tan60°＝
12．如果 ，那么锐角 °．
13．已知α与β互为余角，且cos（115°﹣α+β）= ，则α= ，β= ．
14．比较大小：tan30° 0.5（填＞，＜，或＝）.
15．已知OM⊥ON，斜边长为4的等腰直角△ABC的斜边AC在射线上，顶点C与O重合，若点A沿NO方向向O运动，△ABC的顶点C随之沿OM方向运动，点A移动到点O为止，则直角顶点B运动的路径长是 ．
三、解答题
16．先化简，再求值： ，其中 .
17．计算：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（-）﹣2+．
18．在直角△ABC中，∠C=90°，若=5，求tanA．
19．已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x﹣3=0的一个根，求2sin2α+cos2α﹣tan（α+15°）的值．
20．某景区为方便游客参观，在每个景点均设置两条通道，即楼梯和无障碍通道．如图，已知在某景点P处，供游客上下的楼梯倾斜角为30°（即∠PBA=30°），长度为4m（即PB=4m），无障碍通道PA的倾斜角为15°（即∠PAB=15°）．求无障碍通道的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin15°≈0.21，cos15°≈0.98）
21．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB=45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据： =1.414， =1.732）
22．某海船以 海里/小时的速度向北偏东70°方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东40°方向，5小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西65°方向，求此时灯塔B到C处的距离。
23．如图，海中有一小岛P，在距小岛16 海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东45°，且A，P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，有无触礁的危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向改变航向，才能安全通过这一海域？
24．计算：cos245°+tan60° cos30°﹣3cot260°．
1．D
2．C
3．B
4．B
5．C
6．D
7．A
8．A
9．A
10．D
11．2
12．30
13．80°；10°
14．＞
15．8﹣4
16．解：原式=
=
= ，
当 时，
原式=
=0 .
17．解：|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（-）﹣2+，
=|2﹣|﹣1+4+，
=2﹣﹣1+4+，
=5．
18．解：由正切等于正比余弦，得=5，化简，得1+2cosA=5sinA．再有正弦余弦，得1+2cosA=5.1+4cosA+cos2A=25（1﹣cos2A）．解得cosA=．sinA===0.562tanA===1.47．
19．解：解方程x2+2x﹣3=0得：x1=1，x2=﹣3，∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°，∴2sin2α+cos2α﹣tan（α+15°）=2sin245°+cos245°﹣tan60°=2 （）2+（）2﹣ =1+﹣3=．
20．解：在Rt△PBC中，PC=PB sin∠PBA=4×sin30°=2m，
在Rt△APC中，PA=PC÷sin∠PAB=2÷sin15°≈9.5m．
答：无障碍通道的长度约是9.5m
21．解：由题意知，AH=10米，BC=10米，
在Rt△ABC中，∵∠CAB=45°，
∴AB=BC=10米
在Rt△DBC中，∵∠CDB=30°，
∴DB= =10 （米）
∵DH=AH﹣DA
=AH﹣（DB﹣AB）
=10﹣10 +10
=20﹣10
≈2.7（米）
∴建筑物需要拆除．
22．解：过点B作BD⊥AC于点D.
因为∠MAB=40°，∠MAC=70°，
所以∠BAC=70°-40°=30°，
又因为∠NCB=65°，∠NCA=180°-70°=110°，
所以∠ACB=45°，
所以DB=CD，AD= .
设CD=x，则BD=x，AD= .
所以 +x=5× ，解得x=10.
所以BC= .
此时灯塔B到C处的距离是 海里.
23．解：如图，过P作PC⊥AM于C，则∠PCA=90°，且PC的长是A沿AM方向距离P点的最短距离，
∵∠PAM=90°﹣45°=45°，
∴∠APC=45°=∠PAC，
∴PC=AC，
由勾股定理得：2PC2=AP2=322，
∴PC=16 ，
16 海里＜16 海里，
∴轮船继续向正东方向航行，有触礁的危险；
设A沿AD方向航行，正好没有触礁的危险，如图：
过P作PE⊥AD于E，则此时PE=16 海里，
在Rt△PAE中，sin∠PAE= ，
∴∠PAE=60°，
∠MAD=60°﹣45°=15°，
即轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行，才能安全通过这一海域．
24．解：原式=（）2+×﹣3×（）2
=1．