鲁教版2024-2025学年度第一学期九年级数学2.4 解直角三角形 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 鲁教版2024-2025学年度第一学期九年级数学2.4 解直角三角形 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 363.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-12 19:02:02 | ||
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文档简介
鲁教版2024-2025学年度第一学期九年级数学2.4 解直角三角形 同步练习
班级： 姓名：
亲爱的同学们：
练习开始了，希望你认真审题，细致做题，运用所学知识解决本练习。祝你学习进步！
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（ ）
A． B．m cosα C．m sinα D．m tanα
2．在 中， ， ，则 ( )
A． B． C． D．
3．如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段，已知坡长为m米，坡角为α，则坡的铅垂高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．已知，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列结论错误的是（ ）
A．c＝ b B．c＝2a C．b2＝3a2 D．a2＋b2＝c2
5．在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA= ，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
6．如图， P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则sinα=（ ）
A． B． C． D．
7．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1=S2 B．S1=S2 C．S1=S2 D．S1=S2
8．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC= BD，连接AC，若tanB= ，则tan∠CAD的值（ ）
A． B． C． D．
9．定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角.如图，在中，互为半余角，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．在图形的旋转中，下列说法错误的是（ ）
A．旋转前和旋转后的图形全等
B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C．图形上的每一个点旋转的角度都相同
D．图形上可能存在不动的点
二、填空题
11．如果△+△=*，○+○=，△=○+○+○+○，那么*+= ．
12．已知α是锐角，且sinα＝ ，则cosα＝ ．
13．在 中， ， ， ， ．
14．如图，在中，，，，，为的中点，点、分别为、上一动点，则的最小值为 ．
15．在△ABC中，AC=6 ，点D为直线AB上一点，且AB=3BD，直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为 ，并且CD⊥AC，则BC的长为 ．
三、解答题
16．如图，点P是 外一点，点M、N分别是 两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若 ， ， ，则线段QR的长为多少 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，BC＝12，求AB的长．
18．在△ABC中，sinB= ，AB=15，∠C=45°，求△ABC的周长（结果保留根号）．
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，sinB= ，AB=15，求△ABC的周长和tanA的值．
20．如图，把两个大小相同的含30°的角的三角尺如图放置，若AD=4，试求围成的△ADC的面积．
21．如图标识了某品牌三角钢琴的部分产品数据，如图为该钢琴正面简化示意图，已知钢琴大盖板闭合时与重合，此时大盖板为打开状态支撑杆长，与水平方向的夹角，大盖板长，钢琴的高度即点到水平地面的距离为参考数据：，，，
（1）求的度数；
（2）求此时大盖板上点到水平地面的距离．
22．如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=，点E在AB上，∠AED=45°，DE=6，CE=7.
（1）求AE的长；
（2）求sin∠BCE的值．
23．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 ）靠墙摆放，高 ，宽 ，小强身高 ，下半身 ，洗漱时下半身与地面成 （ ），身体前倾成 （ ），脚与洗漱台距离 （点 ， ， ， 在同一直线上）．
（1）此时小强头部 点与地面 相距多少？
（2）小强希望他的头部 恰好在洗漱盆 的中点 的正上方，他应向前或后退多少？
（ ， ， ，结果精确到 ）
24．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．
1．A
2．C
3．B
4．A
5．A
6．D
7．D
8．D
9．B
10．B
11．10○
12．
13．8
14．
15． 或15
16．解： ，理由如下：
点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
， ．
， ， ，
， ， ．
．
17．解：∵∠C＝90°，BC＝12，tanA＝ ＝ ，
∴AC＝16，
∵AB2＝AC2＋BC2，
∴AB2＝162＋122＝400，
∴AB＝20.
18．解：作AD⊥BC于D，如图所示：
∵sinB= = ，AB=15，
∴AD= AB= ×15=9，
∴BD= = =12，
∵∠C=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD=AD=9，
∴BC=BD+CD=21，AC= AD=9 ，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=15+21+9 =36+9 ．
19．解：在△ABC中，因为∠C=90°， ，AB=15，
所以 = ，即 = ，
所以AC=9，
又因为AC2+BC2=AB2，
所以BC=12，
所以△ABC的周长AC+BC+AB=9+12+15=36，
20．解：∵由图知，AC=CD，∠ACD=90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠ADC=45°．
∴AC=ADsin45°=4×=4，
△ADC的面积：DC AC=×4×4=24．
21．（1）解：过点作，垂足为，
由题意得：，
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
的度数约为；
（2）解：过点作，垂足为，
在中，，，
，
点到水平地面的距离为，
此时大盖板上点到水平地面的距离，
此时大盖板上点到水平地面的距离约为．
22．（1）在中，，，
∵
∴==；
（2）∵
∴
在中，，=．
23．（1）解：过点F作FN⊥DK于点N，过点E作EM⊥FN于点M，
∵EF+FG=166，FG=100，∴EF=66，
∵∠FGK=80°，∴FN=100sin80°≈98，
又∵∠EFG=125°，∴∠EFM=180°-125°-10°=45°，
∴FM=66cos45°=33≈46.53，
∴MN=FN+FM≈144.5.
∴他头部E点与地面DK相距约144.5cm。
（2）解：过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H。
∵AB=48，O为AB的中点，
∴AO=BO=24，
∵EM=66sin45°≈46.53，即PH≈46.53
GN=100cos80°≈1，8，CG=15，
∴OH=24+15+18==57
OP=OH-PH=57-46.53=10.47≈10.5，
∴他应向前10.5cm。
24．解：连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，∠ABC=90°，利用勾股定理得：AC==10，即OA=5，∵OE⊥AC，∴AE=CE，在Rt△EDC中，设EC=AE=x，则有ED=AD﹣AE=8﹣x，DC=AB=6，根据勾股定理得：x2=（8﹣x）2+62，解得：x=，∴AE=，在Rt△AOE中，sin∠OEA==．
班级： 姓名：
亲爱的同学们：
练习开始了，希望你认真审题，细致做题，运用所学知识解决本练习。祝你学习进步！
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（ ）
A． B．m cosα C．m sinα D．m tanα
2．在 中， ， ，则 ( )
A． B． C． D．
3．如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段，已知坡长为m米，坡角为α，则坡的铅垂高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．已知，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列结论错误的是（ ）
A．c＝ b B．c＝2a C．b2＝3a2 D．a2＋b2＝c2
5．在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA= ，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
6．如图， P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则sinα=（ ）
A． B． C． D．
7．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1=S2 B．S1=S2 C．S1=S2 D．S1=S2
8．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC= BD，连接AC，若tanB= ，则tan∠CAD的值（ ）
A． B． C． D．
9．定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角.如图，在中，互为半余角，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．在图形的旋转中，下列说法错误的是（ ）
A．旋转前和旋转后的图形全等
B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C．图形上的每一个点旋转的角度都相同
D．图形上可能存在不动的点
二、填空题
11．如果△+△=*，○+○=，△=○+○+○+○，那么*+= ．
12．已知α是锐角，且sinα＝ ，则cosα＝ ．
13．在 中， ， ， ， ．
14．如图，在中，，，，，为的中点，点、分别为、上一动点，则的最小值为 ．
15．在△ABC中，AC=6 ，点D为直线AB上一点，且AB=3BD，直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为 ，并且CD⊥AC，则BC的长为 ．
三、解答题
16．如图，点P是 外一点，点M、N分别是 两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若 ， ， ，则线段QR的长为多少 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，BC＝12，求AB的长．
18．在△ABC中，sinB= ，AB=15，∠C=45°，求△ABC的周长（结果保留根号）．
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，sinB= ，AB=15，求△ABC的周长和tanA的值．
20．如图，把两个大小相同的含30°的角的三角尺如图放置，若AD=4，试求围成的△ADC的面积．
21．如图标识了某品牌三角钢琴的部分产品数据，如图为该钢琴正面简化示意图，已知钢琴大盖板闭合时与重合，此时大盖板为打开状态支撑杆长，与水平方向的夹角，大盖板长，钢琴的高度即点到水平地面的距离为参考数据：，，，
（1）求的度数；
（2）求此时大盖板上点到水平地面的距离．
22．如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=，点E在AB上，∠AED=45°，DE=6，CE=7.
（1）求AE的长；
（2）求sin∠BCE的值．
23．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 ）靠墙摆放，高 ，宽 ，小强身高 ，下半身 ，洗漱时下半身与地面成 （ ），身体前倾成 （ ），脚与洗漱台距离 （点 ， ， ， 在同一直线上）．
（1）此时小强头部 点与地面 相距多少？
（2）小强希望他的头部 恰好在洗漱盆 的中点 的正上方，他应向前或后退多少？
（ ， ， ，结果精确到 ）
24．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．
1．A
2．C
3．B
4．A
5．A
6．D
7．D
8．D
9．B
10．B
11．10○
12．
13．8
14．
15． 或15
16．解： ，理由如下：
点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
， ．
， ， ，
， ， ．
．
17．解：∵∠C＝90°，BC＝12，tanA＝ ＝ ，
∴AC＝16，
∵AB2＝AC2＋BC2，
∴AB2＝162＋122＝400，
∴AB＝20.
18．解：作AD⊥BC于D，如图所示：
∵sinB= = ，AB=15，
∴AD= AB= ×15=9，
∴BD= = =12，
∵∠C=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD=AD=9，
∴BC=BD+CD=21，AC= AD=9 ，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=15+21+9 =36+9 ．
19．解：在△ABC中，因为∠C=90°， ，AB=15，
所以 = ，即 = ，
所以AC=9，
又因为AC2+BC2=AB2，
所以BC=12，
所以△ABC的周长AC+BC+AB=9+12+15=36，
20．解：∵由图知，AC=CD，∠ACD=90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠ADC=45°．
∴AC=ADsin45°=4×=4，
△ADC的面积：DC AC=×4×4=24．
21．（1）解：过点作，垂足为，
由题意得：，
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
的度数约为；
（2）解：过点作，垂足为，
在中，，，
，
点到水平地面的距离为，
此时大盖板上点到水平地面的距离，
此时大盖板上点到水平地面的距离约为．
22．（1）在中，，，
∵
∴==；
（2）∵
∴
在中，，=．
23．（1）解：过点F作FN⊥DK于点N，过点E作EM⊥FN于点M，
∵EF+FG=166，FG=100，∴EF=66，
∵∠FGK=80°，∴FN=100sin80°≈98，
又∵∠EFG=125°，∴∠EFM=180°-125°-10°=45°，
∴FM=66cos45°=33≈46.53，
∴MN=FN+FM≈144.5.
∴他头部E点与地面DK相距约144.5cm。
（2）解：过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H。
∵AB=48，O为AB的中点，
∴AO=BO=24，
∵EM=66sin45°≈46.53，即PH≈46.53
GN=100cos80°≈1，8，CG=15，
∴OH=24+15+18==57
OP=OH-PH=57-46.53=10.47≈10.5，
∴他应向前10.5cm。
24．解：连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，∠ABC=90°，利用勾股定理得：AC==10，即OA=5，∵OE⊥AC，∴AE=CE，在Rt△EDC中，设EC=AE=x，则有ED=AD﹣AE=8﹣x，DC=AB=6，根据勾股定理得：x2=（8﹣x）2+62，解得：x=，∴AE=，在Rt△AOE中，sin∠OEA==．