2024-2025学年北京市朝阳区和平街第一中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区和平街第一中学高三上学期10月月考
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，则集合( )
A. B.
C. D.
2.设，向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.若复数的实部与虚部相等，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.在下列函数中，值域为的偶函数是( )
A. B. C. D.
5.中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种这五种规格党旗的长单位：成等差数列，对应的宽为单位：，且长与宽之比都相等，已知，，，则
A. B. C. D.
6.如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则( )
A. B. C. D.
7.已知向量，满足，且其夹角为，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.对于定义在上的函数，若存在非零实数，使函数在和上均有零点，
则称为函数的一个“折点”下列四个函数存在“折点”的是( )
A. B.
C. D.
9.把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为，，则的值约为( ) 参考数据
A. B. C. D.
10.已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.已知为递增等比数列的前项和，其中，，成等差数列，且，则 ．
13.如图，边长为的正方形中，点满足，则 ；若点是线段上的动点，则的取值范围是 ．
14.已知函数，若在上不具有单调性，则的取值范围是 ．
15.已知等差数列的前项和为，且数列的前项和为．
给出下列四个结论：
；
；
使成立的的最大值为；
当时，取得最小值．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数．
求的单调递增区间；
令，，其中，若的值域为，求和的值．
17.已知等比数列为递增数列，其前项和为，，．
求数列的通项公式；
若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的通项公式及前项和．
18.在中，，，在从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：
的值；
的面积．
条件：；
条件：；
条件：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19.某市，两所中学的学生组队参加信息联赛，中学推荐了名男生、名女生．中学推荐了名男生、名女生两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取人、女生中随机抽取人组成代表队参赛．
求中学至少有名学生入选代表队的概率；
设表示中学参赛的男生人数，求的分布列和数学期望；
已知名男生的比赛成绩分别为，，，名女生的比赛成绩分别为，，，若名男生的比赛成绩的方差大于名女生的比赛成绩的方差，写出的取值范围不要求过程．
20.已知函数，设．
若，求的单调区间；
若在区间上存在极小值，
(ⅰ)求的取值范围；
(ⅱ)证明：．
21.已知无穷数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”．
已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由；
证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”；
已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，求数列的最小项的最大值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
，
由，，可得，
所以函数的单调递增区间为
由知，
，
，
又，的值域为，
所以当时，，
当时，，
联立可解得

17.设等比数列的首项为，公比为，
根据题意可得，解得或
因为等比数列为递增数列，所以
所以数列的通项公式为．
因为数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，
所以
．

18.选择条件，
，由于，，
所以，解得；
选择条件，
，由于，，
由正弦定理，．
选择条件，
，由正弦定理，得，
此时或，三角形不唯一，不合题意．
选择条件，
，由，则，满足，
故为直角三角形，所以；
选择条件，
，在中，，
所以．

19.由题意知，参加集训的男、女生各有名．
参赛学生全部从中学中抽取等价于中学没有学生入选代表队的概率为．
因此，中学至少有名学生入选代表队的概率为．
根据题意得，的可能取值为，，，．
则，
，
所以的分布列为：
因此，的数学期望．
名男生的比赛成绩分别为，，，平均值为，方差为，
名女生的比赛成绩为，，，平均值为，
所以，
即，
代入检验，可知最小为，最大，故，
即的取值范围．

20.若，则，．
所以，则．
令，即，解得
令，即，解得．
所以在上单调递增，在上单调递减．
法一：因为，所以．
易知在上单调递减，．
当即时，，在上单调递减，
因为，所以，所以在上单调递减，
所以无极值．
当即时，
由可得．
当变化时，与的变化情况如下表所示．
单调递增 极大值 单调递减
在上单调递增，在上单调递减．
当时，有极大值．
当即时，
，在上单调递减．
所以无极值．
当即时，
因为，所以在上有且只有一个零点，记为．
当变化时，与的变化情况如下表所示．
单调递减 极小值 单调递增
所以，当时，有极小值．
法二：
．
令，则
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，

当，即时，
在上单调递减，
所以无极值．
当，即时，
当且时，．
又，使．
所以当时，即在上单调递减．
当时，即在上单调递增．
当时，有极小值．
有极小值时，的取值范围是．
(ⅱ)由知，．
．
．
，．

21.由于为等差数列，所以，为等比数列，，
任意的，都有，
故，所以数列是为“数列”，
任意的，都有，
故，所以数列不是为“数列”，
先证明必要性：
因为为“数列”，所以对任意的，都有，即，
所以对任意的，，，当时，有
，
所以，
又，
所以，
又，
故，即，故，
再证明充分性：
对于任意的，，，当时，有，
即，
对于任意的，，则有，
即可，所以为“数列”，
数列为“严格数列”，且对任意的，有，即，
设，则为单调递增数列，且，
所以
因为，所以，
所以存在时，，
所以，当数列为单调递减数列，
当
因此存在最小值，且最小值为，
由于，所以，且
所以，即，
，即
所以
，
当时，，
当时，，
当时，
所以当时，的最大值为，
此时，因为，
所以数列的最小项的最大值为

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