2024-2025学年北京市朝阳区外国语学校高三上学期质量检测二数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区外国语学校高三上学期质量检测二
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集，则( )
A. B. C. D.
2.关于函数的单调性的说法正确的是( )
A. 在上是增函数 B. 在上是减函数
C. 在区间上是增函数 D. 在区间上是减函数
3.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
5.函数，其中，，，它的图象如图所示，则的解析式为 ．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.若，，是空间中三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中真命题是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
7.已知，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
8.设等比数列的前项和为，则“”是“数列为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.光线通过一块玻璃，强度要损失设光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则经过块这样的玻璃后光线强度为：，那么至少通过 块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下
A. B. C. D.
10.已知无穷数列的各项均为实数，为其前项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是( )
A. ，，，，为等差数列，，，，，为等比数列
B. ，，，，为等比数列，，，，，为等差数列
C. ，，，，为等差数列，，，，，为等比数列
D. ，，，，为等比数列，，，，，为等差数列
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知等比数列的前项和为，则 ．
12.已知向量，，则
13.已知，且，则 ．
14.设正实数满足，则 ．
15.某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力战斗单位数随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，为战斗时间；，分别为红、蓝两方时刻的兵力正实数，分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为给出下列四个结论：
若且，则；
若且，则；
若，则红方获得战斗演习胜利；
若，则红方获得战斗演习胜利．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ若是第二象限角，且，求的值；
Ⅱ求函数的定义域和值域．
17.本小题分
在中，已知．
求角的大小；
若，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件：；
条件：；
条件：的周长是．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
如图．在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．
求证：平面平面；
若为线段上靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求的单调区间；
在的条件下，若对于任意，不等式成立，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数，设为曲线在点处的切线，其中．
求直线在轴上的截距的取值范围：
设直线分别与曲线和射线交于，两点，求的最小值及此时的值．
21.本小题分
已知为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质．
若，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；
若，，且具有性质，求证：中必有两项相同；
若，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.
16.解：因为是第二象限角，且，
所以．
所以，
所以．
函数的定义域为．
化简，得
，
因为，且，，
所以，
所以．
所以函数的值域为．
注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为

17.因为，即，
可得，
且，所以．
因为，，由正弦定理可得，
可得．
若选条件：因为，，即，
可得，可知满足条件的角有两个，不唯一，不合题意；
若选条件：因为，
由正弦定理可得，
且，则，可得，
则，，
因为两角和两边均已确定，根据三角形全等可知三角形存在且唯一，
又因为，
所以的面积；
若选条件：因为的周长是，
则，即，
由余弦定理可得，即，
整理可得，且，
可知方程有个不相等的实根，
且，可知方程有个不相等的正实根，
即边不唯一，不合题意．
综上，只有选条件符合题意．

18.因，为中点，则，
又底面，而底面，则有，
又因，，平面，于是得平面，
而平面，因此，
又，平面，从而得平面
平面，所以平面平面．
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，
因底面，则平面的法向量为，
设平面的法向量为，则
令，得，
设平面与平面夹角为，显然为锐角，
则，
所以二平面与平面夹角的余弦值为．

19.解：因为，所以．
故．
所以，．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
因为，定义域为，
所以．
因为，令，
即，
解得，，
所以．
当变化时，，的变化情况如下表所示．
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．
在的条件下，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
因为对于任意，不等式成立，
所以，，．
所以，得，
，得；
，得．
因为，
所以．
综上所述，的取值范围是．

20.对求导数，得，所以切线的斜率为，由此得切线的方程为：，
即得直线在轴上的截距为．
设，所以，令，得．
列表得：
单调递减 单调递减
所以函数在上单调递减，所以，，
所以直线在轴上的截距的取值范围是．
过作轴的垂线，与射线交于点，所以是等腰直角三角形．
所以．
设，，所以．
令，则，
所以在上单调递增，
所以，从而在上单调递增．
所以，此时，．
所以的最小值为，此时．

21.不存在具有性质的，理由如下：
设，由于，，
设，，，中有个，个，
则有，
所以，解得，与为整数矛盾，
所以不存在具有性质的．
设，，，，中的最大值为，则存在，使得或，
若存在，使，下证：，，，可以取遍到之间所有的整数，
假设存在正整数使得，，，中各项均不为，
令集合，设是集合中元素的最大值，
则有，
这与矛盾，
所以，，，可以取遍到之间所有的整数，
若，则，，，，的取值只能为，中的数，
此时，，，，中必有两项相同，
若，则，，，，的取值只能为，，中的数，
此时，，，，中必有两项相同，
若，则，，，，中一定有异于和的正整数，
再由，，，可以取遍到之间所有的整数，
所以，，，，中必有两项相同，
当，同理可证：，，，可以取遍到之间所有的整数，
从而，，，，中必有两项相同．
不妨设，当，，，中恰有个，个，
由于，
所以取，此时具有性质，
下证：中任意两项均不相同，
若存在使得，
令，，
则有，，
令，，则有且，，
由于，则有，
若，则有，即，
当时，有，从而，矛盾；
若，则有且，
因此有，，，，
所以此时，，矛盾；
综上所述，存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同．

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