重庆市“拔尖强基联盟”2025届高三上学期10月联合考试数学试卷（含答案）

重庆市“拔尖强基联盟”2025届高三上学期10月联合考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则图中阴影部分表示的集合为
A. B. C. D.
2.设复数满足，则
A. B. C. D.
3.设等差数列的前项和为，且，则
A. B. C. D.
4.遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间小时的大致关系：，则记忆率为时经过的时间约为参考数据：
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
5.在平行四边形中，点分别满足，则
A. B. C. D.
6.已知函数，若正实数满足则的最小值为
A. B. C. D.
7.已知为锐角，，则
A. B. C. D.
8.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量满足，，，则
A. B. 当时，
C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为
10.已知函数，，定义域均为，下列说法正确的是
A. 函数与有相同的最小正周期
B. 若函数在上单调递增，则的最小值为
C. 当时，的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到
D. 当时，若方程在区间内的解为，则 　　
11.已知函数与及其导函数与的定义域均为若为奇函数，，，则
A. B.
C. 关于点中心对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 _______．
13.育才中学研究性学习小组为测量如图所示的陶行知雕塑的高度，在和它底部位于同一水平高度的三点处测得雕塑顶端处仰角均为，且则该雕塑的高度为_______．
14.已知函数，则函数的零点个数是_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正项等差数列满足：且成等比数列．
求数列的通项公式；
若数列满足：，，求数列的前项和为．
16.本小题分
心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态某中学的学习研究小组为设计创新性学习活动，随机抽取了名学生进行调研，男生与女生的人数之比为，其中女生有名自述活动过程中体验到心流，男生有名没有体验到心流．
完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关
在体验到心流的学生中，有两名同学表示特别喜爱这种创新性学习活动，希望参加到进一步的学习中在接下来的进一步学习中，研究小组将每次从体验到心流的学生中不放回的随机抽取名同学参加，记抽取两次后抽中或的概率为，当最大时为何值？请证明你的结论．
参考公式：，其中．
心流 无心流 总计
女生
男生
合计
参考数据：
17.本小题分
在中，的对边分别为，且满足__________．
请在；，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题．
求；
若面积为，，点在线段上，且，求的长．
18.本小题分
已知圆交轴于两点，椭圆过点且以为长轴．
求椭圆的标准方程；
已知直线与椭圆交于两点，与圆交于两点，若不重合的两条直线与分别平分线段．
求证：为定值；
已知直线与椭圆分别交于，且，求四边形面积的最大值．
19.本小题分
已知函数的图象与的图象关于直线对称．
求函数的解析式；
若在定义域内恒成立，求的取值范围；
求证：
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. 解：设数列公差为，又，，成等比数列，
所以，
所以，
又，
即，
解得或舍，
所以．
可知，
则
．
16.解：因为调查的女生人数为：，所以，调查的男生人数为，
于是可完成列联表如下：
零假设为在创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关根据列联表中的数据，
可得：，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关
当时，的值最大，
，
，
由可知，，
即为增函数，所以当时的值最大．
17.解：选择条件，，
则，
由正弦定理可得，即，
所以，由，所以；
选择条件，，
即，所以，
由，则，
所以，则；
在中，因为，所以，
所以，故得，
而在中，恒成立，故得，
因为，所以，
解得，，
因为面积为，所以，解得，
由上问得，故，解得，
而，
所以，解得，
综上可得，，负根舍去，
设，，，
由平面向量基本定理定理得，
所以，
故CD的长度为．
18.解：由，令得，不妨令，，
则可设椭圆的标准方程为，
椭圆过点，即，解得，
所以椭圆的标准方程为
解：显然直线与垂直，设直线，则，直线与椭圆交于，，
由于直线平分直线与圆的交线段，则有，
于是，
由于，，则，则．
由题可知，则，易知，
令，得，
则直线与椭圆交线长为，
同理可得直线与椭圆的一个交点，
则到直线的距离，
所以四边形面积，
当时，四边形不存在，
当时，，当且仅当时，取等号，
所以四边形面积的最大值，在时取到．

19.解：由题，不妨设函数图象上任意一点坐标为，则其关于直线的对称的点在的图象上，
则，
；
不妨令，，
则在上恒成立，
注意到，，且在上是连续函数，
则是函数的一个极大值点，
，又，，
，
下证：当时，在上恒成立，
令，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
，即：在上恒成立；
又，，
的取值为；
由知：，则，
，
，
又由知：在恒成立，则在上恒成立，且当且仅当时取等，
则令，，
则，
，
，
证毕．
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