2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高三（上）质检
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若正数、、均不为，则下列不等式中与“”等价的是( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线：与：有共同的渐近线，则它们一定有相等的( )
A. 实轴长 B. 虚轴长 C. 焦距 D. 离心率
3.下列用递推公式表示的数列中，使得成立的是( )
A. B.
C. D.
4.九章算术中所述“羡除”，是指如图所示五面体，其中，“羡除”形似“楔体”“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长、、，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离如图羡除的体积公式为，过线段，的中点，及直线作该羡除的一个截面，已知刚好将羡除分成体积比为：的两部分若、，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.集合，，则______．
6.函数的定义域为______．
7.若，则 ______．
8.若复数满足，其中是虚数单位，则 ______．
9.有位同学在一次考试中的数学成绩如下：，，，，，，，，则该小组本次考试数学成绩的第百分位数为______．
10.已知函数，那么在点处的切线方程为 ．
11.向量为直线的法向量，则向量在方向上的投影向量为______．
12.对于独立事件，，若，，则 ______．
13.学生食堂采用了自助的形式，受到了学生的大力追捧，每位学生都可以从道菜中任意选择搭配，每位学生至少打道菜，则总共可以形成______种不同的搭配．
14.已知，且，则 ______．
15.已知定义在上的函数，且，则函的零点个数为______．
16.向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称为“类集”，现有四个命题：
若为“类集”，则集合也是“类集”；
若，都是“类集”，则集合也是“类集”；
若，都是“类集”，则也是“类集”；
若，都是“类集”，且交集非空，则也是“类集”．
其中正确的命题有 填所有正确命题的序号．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，四棱锥中，等腰的边长分别为，，矩形所在的平面与平面垂直．
如果，求直线与平面所成的角的大小：
如果，求的长．
18.本小题分
记为数列的前项和，已知，．
求，并证明是等差数列；
求．
19.本小题分
已知向量，设．
求函数的单调增区间；
在中，角、、所对的边分别为、、，若，，的面积，求边的长．
20.本小题分
已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于，两点．
求椭圆的方程；
求线段的长度的最小值；
当线段的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“一类函数”．
试判断是否为其定义域上的“一类函数”，并说明理由；
若函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的取值范围．
已知函数为其定义域上的“一类函数”，求实数的最大整数值．
参考答案
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17.解：因为矩形所在的平面与平面垂直，且平面平面，，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，且，
故．
根据题意，以为坐标原点，垂直于做出轴，，所在直线为，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，且，
则，即，所以，即．
18.解：当时，，解得，
当时，，解得，
所以；
由，得，则，
两式相减得，则，
令，则，，
所以是以为首项，以为公差的等差数列；
当为偶数时，，
由，得，两式相减得，
所以当为奇数时，
，
即，
综上．
19.解：因为，，
则
，
令，
得，
故函接数的单调增区间为，．
因为所以，
又，则，
所以，则，又，
所以，所以，
由余弦定理可得：，
故．
20.解：由已知得，椭圆的左顶点为，
上顶点为，，
故椭圆的方程为
依题意，直线的斜率存在，且，故可设直线的方程为，从而，由得
设，则得，从而
即，
又由得，
，
故
又，当且仅当，即时等号成立．
时，线段的长度取最小值
另解：设，依题意，，，三点共线，且所在直线斜率存在，
由，可得同理可得：又
所以，不仿设，当且仅当时取等号，
即时，线段的长度取最小值．
由可知，当取最小值时，
此时的方程为，
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，
所以在平行于且与距离等于的直线上．
设直线：，则由，解得或．
又因为为直线与椭圆的交点，所以经检验得，此时点有两个满足条件
21.解：函数不是其定义域上的“一类函数”．
理由如下：
的定义域为，，存在，使得，
故不是其定义域上的“一类函数”
，所以．
若函数在上为“一类函数”，
则在上恒成立，
即在上恒成立．
因为在上的值域为，
所以，
所以实数的取值范围为；
，
依题意有对作意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，，即；
当时，，
令，则，
令，则，
易知时，时，，
即在上是减函数，在上是增函数，
而，
即时，，于是，则在上是减函数，
故，从而．
综上，满足条件的实数的取值范围是，于是的最大整数值为．
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