2024-2025学年重庆市荣昌中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市荣昌中学高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“”的否定是( )
A. ， B. ，
C. D.
2.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
3.对标有不同编号的件正品和件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出件在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是( )
A. B. C. D.
4.设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知函数若存在个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.一元二次方程，有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
7.某校高三年级举行一次演讲赛共有位同学参赛，其中一班有位，二班有位，其它班有位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有位同学恰好被排在一起指演讲序号相连，而二班的位同学没有被排在一起的概率为：( )
A. B. C. D.
8.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.下列命题中的真命题有( )
A. 当时，的最小值是
B. 的最小值是
C. 当时，的最大值是
D. 对正实数，，若，则的最大值为
11.已知二次函数为常数的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有( )
A.
B. 当时，函数的最大值为
C. 关于的不等式的解为或
D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从名男生和名女生中，选出名代表，要求名代表中既有男生又有女生的选法有______种
13.的展开式中项的系数为______．
14.若函数的图象关于直线对称，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性；
求不等式的解集．
16.本小题分
已知函数在点处的切线方程为．
求，；
求的单调区间和极值．
17.本小题分
某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次单位：十人次，绘制了如图所示的散点图：
根据散点图判断在推广期内，与为大于零的常数哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由
根据的判断结果求关于的回归方程，并预测活动推出第天使用扫码支付的人次．
参考数据：
其中，
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，
18.本小题分
分制乒乓球比赛，每赢一球得分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．
求；
求事件“且甲获胜”的概率．
19.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程；
若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
求证：．
参考数据：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，所以，
即，故定义域为．
判断为奇函数，
，
所以为奇函数．
，
即，，
且定义域为，
故．
所以不等式的解集为．
16.解：定义域为，，
将点代入中，
，．
，
，
递增 极大值 递减 极小值 递增
的单调递增区间为，，单调递减区间为；
的极大值为，极小值为．
17.解：根据散点图可知：散点不是分布在一条直线附近，而是分布在一条指数型增函数附近，
所以适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型；
因为，两边取常用对数得，
设，所以，
因为，，，
所以，
把样本点的中心代入得：
，所以，
所以，
所以关于的回归方程为，
将代入上式可得，
故预测活动推出第天使用扫码支付的人次约为．
18.解：设双方：平后的第个球甲获胜为事件，
则
；
且甲获胜
．
19.解：当时，，
所以求在处的切线方程为：．
，
若函数在定义域上单调递增，则对于恒成立，
令，
则时，，
则函数在上单调递增，所以，
故．
证明：由可知，当时，在上单调递增，
由得，
即在上总成立，
令得，化简得，
所以，，
累加得，
即命题成立．
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