2024-2025学年北京市西城外国语学校高三上学期9月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城外国语学校高三上学期9月月考数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则
A. B. C. D.
2.复数在复平面上的对应点落在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是
A. B. C. D.
4.设等差数列的前项和为，若，，则
A. B. C. D.
5.设，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则的表达式为( )
A. B.
C. D.
7.“”是“函数为偶函数”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.点声源在空间中传播时，衰减量单位：与传播距离单位：米的关系式为，则从米变化到米时，衰减量的增加值约为( )参考数据：
A. B. C. D.
9.已知函数，若，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
10.如图，，是半径为的圆周上的定点，为圆周上的动点，是锐角，大小为图中阴影区域的面积的最大值为
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知角终边上一点，则 ．
12.函数的定义域为 ．
13.已知为第二象限角，，则 ．
14.已知函数的导函数为，且是偶函数，，写出一个满足条件的函数 ．
15.已知函数，给出下列三个结论：
当时，函数的单调递减区间为；
若函数无最小值，则的取值范围为；
若且，则，使得函数恰有个零点，，，且．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在四边形中，，，，，．
求；
求的长．
17.本小题分
已知函数，且．
求的值；
求函数的最小正周期及单调递增区间；
若对于任意的，总有，直接写出的最大值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
求的单调性；
求函数在上的最小值．
19.本小题分
在中，已知．
求角的大小；
若，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件：；
条件：；
条件：的周长是．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20.本小题分
图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表单位：张：
识别结果真实性别 男 女 无法识别
男
女
假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的．
从这张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；
在新一轮测试中，小组同学对张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或张照片全部测试完毕，则停止测试设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望；
为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；
方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性即判定为男性的概率为，判定为女性的概率为．
现从若干张不同的人脸照片其中男性女性照片的数量之比为中随机抽取一张，分别用方案一方案二方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为试比较的大小结论不要求证明
21.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若对恒成立，求的取值范围；
若，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.
16.解：Ⅰ因为，，，
所以角，和均为锐角，
所以，
，
所以
．
Ⅱ由已知及正弦定理，可得，解得，
由于，，
在中，由余弦定理可得
．
17.因为，，所以，所以，所以，所以，
由，化简得，
所以，
所以函数的最小正周期，
由，，得，，
所以函数的单调递增区间为，；
由，可得，所以，所以，，化简可得
由对于任意的，总有可得的最大值为．

18.当时，，则，
所以，，
所以曲线在处的切线方程为．
由题意得，因为恒成立，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
由得，当时，在上单调递减，；
当时，在单调递减，在单调递增，；
当时，在上单调递增，．

19.因为，即，
可得，
且，所以．
因为，，由正弦定理可得，
可得．
若选条件：因为，，即，
可得，可知满足条件的角有两个，不唯一，不合题意；
若选条件：因为，
由正弦定理可得，
且，则，可得，
则，，
因为两角和两边均已确定，根据三角形全等可知三角形存在且唯一，
又因为，
所以的面积；
若选条件：因为的周长是，
则，即，
由余弦定理可得，即，
整理可得，且，
可知方程有个不相等的实根，
且，可知方程有个不相等的正实根，
即边不唯一，不合题意．
综上，只有选条件符合题意．

20.根据题中数据，共有张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有张，所以该照片确为女性的概率为．
设事件输入男性照片且识别正确．
根据题中数据，可估计为．
由题意知的所有可能取值为．
．
所以的分布列为
所以．
由题可知，调查的张照片中，其中女生共有个，男生共有个，
程序将男生识别正确的频率为，识别为女生的频率为，无法识别的频率为，
程序将女生识别正确的频率为，识别为男生的频率为，无法识别的频率为，
由频率估计概率得
，
，
，
所以

21.解：由已知得函数定义域为，，
Ⅰ令得，因为，
，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
Ⅱ结合，由已知得在恒成立，
即在上恒成立，令，，显然，
再令，，故在上单调递减，
结合，
当时，，即，当时，，即，
即在上单调递增，在上单调递减，
故是的极大值，也是的最大值，
故即为所求，故的取值范围是；
Ⅲ证明：由得，且，，
当时，令，，显然，
，
时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
故是的极大值，也是最大值，即时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以，，
两式相加得，即，
故．
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