福建省龙岩市第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题（含答案）

福建省龙岩市第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B.
C. D.
2.设，为实数，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.声音的等级单位：与声音强度单位：满足喷气式飞机起飞时，声音的等级约为若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为( )
A. B. C. D.
5.已知，为正实数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.设函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数是上的偶函数，且，当时，，函数在区间的零点个数为( )
A. B. C. D.
8.已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，无极值点
C. ，使在上是减函数
D. ，图象对称中心的横坐标不变
11.已知函数的定义域为，则( )
A. B. C. 是偶函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则 ．
13.若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则 ．
14.表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数为偶函数，
求的值及函数的值域；
若命题“”为假命题，求实数的取值范围．
16.本小题分
某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为万元，每生产台，需另投入生产成本万元当年产量不足台时，当年产量不小于台时，且当年产量为台时需另投入成本万元若每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．
求的值
求该企业投资生产这批新型机器的年利润所万元关于年产量台的函数关系式利润销售额成本
这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大并求出最大利润．
17.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间和极值；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数
若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；
若，且有两个极值点，其中，求的取值范围．
19.本小题分
设集合或，中的 元素，，定义：若为的元子集，对，都存在，使得，则称为的元最优子集．
若，且，试写出两个不同的；
当时，集合，证明：为的元最优子集；
当时，是否存在元最优子集，若存在，求出一个最优子集，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 或
13.
14.
15.
为偶函数，，
，，
即对恒成立，．
当且仅当时取等
故值域为．
若命题“”为假命题，
则命题“”为真命题，
，
令，当且仅当时等号成立；
则．
对恒成立，即对恒成立．
，故原式子又等价于对恒成立．
令，则，则在上单调递增．
故，故的取值范围为．

16.解：，代入，得
；
由题意可得：当时，
，
当时，
所以年利润万元关于年产量台的函数关系式为：
；
由得时，，
此时台时，万元
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，万元
而，故台时，利润最大，最大利润是万元，
综上所述：年产量为台时，该企业所获利润最大，最大利润是万元．
17.
当时，，
，
令，则，
故在上单调递减，而，
因此是在上的唯一零点，
即是在上的唯一零点，
当变化时，，的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减
所以的单调递增区间为，递减区间为；
所以的极大值为，无极小值；
由题意知，即，即，
设，则，
令，解得，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以，
所以．
所以的取值范围为．

18.解：的定义域为，
在上单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
，故实数的取值范围为；
由题意，
有两个极值点，
为方程的两个不相等的实数根，
由一元二次方程根与系数的关系得，，
，，
又，解得，
，
设，
则
，
在上单调递减，
又，，
，
即的取值范围为．

19.
取或，满足，
所以或．
任取，则存在，使得，
记，
若，则结论成立；若，则，
所以为的元最优子集．
先考虑的情况，假设存在元最优子集，
记，
，使，
记，则，
由，得，
因此中至少有一个数大于等于，
这与是最优子集矛盾，由的任意性，可知不存在最优子集，
当时，，
则，所以没有元最优子集．

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