广东省八校2025届高三上学期9月联合检测数学试卷（含答案）

广东省八校2025届高三上学期9月联合检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，，，的下四分位数为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若与平行，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数为偶函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：，圆：，直线：自上而下顺次与上述两曲线交于，，，四点，则下列各式结果为定值的是 ( )
A. B.
C. D.
8.已知函数是定义域为的函数，，对任意，，，均有，已知，为关于的方程的两个解，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，且的虚部为，则( )
A. B.
C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点在第二象限
10.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数公约数只有的两个正整数称为互质整数，例如：，，则( )
A. B. 当为奇数时，
C. 数列为等比数列 D. 数列的前项和小于
11.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，为坐标原点，下列命题正确的有( )
A. 当点为线段的中点时，直线的斜率为
B. 若，则
C.
D. 若直线的斜率为，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的常数项是，则 ．
13.中国传世数学著作九章算术卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式例如在推导正四棱台古人称方台体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解下图为俯视图，图为立体切面图．对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥若这四个三棱柱的体积之和为，四个四棱锥的体积之和为，则该正四棱台的体积为 ．
14.随机数表是人们根据需要编制出来的，由，，，，，，，，，这个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体如图的各面写上这个数字相对的两个面上的数字相同，这样就得到一个产生的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记内角，，的对边分别为，，，已知，．
求的值；
若的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知函数，．
当时，研究的单调性；
若，当时，函数有极大值；当时，有极小值，求的取值范围．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，，，分别为的中点．

证明：平面；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，点为坐标原点，线段的中点恰好为，点到直线的距离为．
求的方程；
设点在直线上，过作的垂线交椭圆于两点．记与面积分别为，求的值．
19.本小题分
某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立
若，求数学期望；
接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关团队提出函数模型为，团队提出函数模型为现将只接种疫苗后的白鼠分成组，每组只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示．

试写出事件“”发生的概率表达式用表示，组合数不必计算；
(ⅱ)在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计根据这一原理和团队，提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计参考数据：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
根据题意由余弦定理可得，
又可得，即可得，
所以，可得，
由正弦定理可得；
易知，
解得，即；
由中可得，
所以的周长为．

16.
易知函数的定义域为，则，
又因为，所以当时，，
当或时，；
因此可得在上单调递减，在上单调递增；
若，由可知在处取得极大值，在处取得极小值，
所以，
即；
设函数，则，
所以在上单调递增，所以，
即的取值范围为．

17.
连接，如下图所示：

由底面，底面，可得，
又因为底面为菱形，所以，
显然平面，
因此平面，
又分别为的中点，所以；
即平面；
记的交点为，取的中点为，连接，
易知，由可得平面；
又平面，所以，
因为，所以两两垂直；
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系；

又，，所以；
则，
所以；
设平面的一个法向量为，
可得，解得，令，则；
即为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
可得，解得，令，则；
即为平面的一个法向量，
可得，
设二面角为，可得；
所以二面角的正弦值为．

18.
设，则，由线段中点恰好为，得，
所以，整理得，
由得直线方程为，
所以点到直线的距离为，
所以，
椭圆的方程为．
设，线段的中点，
则．
由知，直线的斜率，
当时，直线的斜率．
因为点在椭圆上，所以，两式相减，
整理得，
又，
所以，直线的斜率为，
因为直线的斜率为，
所以三点共线，即直线过线段的中点，
当时，直线也过线段的中点，
所以到直线的距离相等，即与等底等高．
所以．

19.
由题知，随机变量服从二项分布，，
由，
即，
得，所以；
“”，
，
所以；
记，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，取得最大值，即取得最大值，
在团队提出的函数模型，中，
记函数，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，取得最大值，则不可以估计，
在团体提出的函数模型中，
记函数，单调递增，
令，解得，
则团队可以求出的最大似然估计，且是的最大似然估计．

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