山西省忻州市2025届高三上学期9月月考数学试题（含答案）

山西省忻州市2025届高三上学期9月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知命题，则的否定为( )
A. B. C. D.
4.在平行四边形中，，则( )
A. B. C. D.
5.如果随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，且，则下列结论正确的是( )
A.
B. 在区间上单调递增
C. 若为方程的两个解，则的最小值为
D. 若关于的方程在区间上有且仅有一个解，则的取值范围为
11.已知函数的定义域为，设，若和均为奇函数，则( )
A. B. 为奇函数
C. 的一个周期为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将一个底面半径为，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为 ．
13.设，若，则 ．
14.设是正实数，若椭圆与直线交于点，点为的中点，直线为原点的斜率为，又，则椭圆的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，．
求证：平面；
求直线与平面所成的角的正弦值．
16.本小题分
已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，点为的图象的一个对称中心．
求的解析式；
将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最大值和最小值互为相反数，求的最小值．
17.本小题分
已知函数是且的反函数，且函数．
若，求及的值；
若函数在上有最小值，最大值，求的值．
18.本小题分
在中，已知．
求；
记为的重心，过的直线分别交边于两点，设．
求的值；
若，求和周长之比的最小值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
若存在两个极值点．
求的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.解：侧面为正方形，，
直三棱柱，
平面，
平面，
平面，
平面
平面；
建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
又由，
设平面的一个法向量为，
则有
令，则，于是，
又由，
设直线与平面所成的角为，
所以，
故直线与平面所成的角的正弦值为．

16.解：设的最小正周期为，则，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以；
依题意，，
因为，所以，
当时，的最大值为，最小值为，不符题意；
当时，的最大值为，所以的最小值为，
所以，解得，
所以的最小值为．

17.解：因为函数是且的反函数，则，
即，
则，解得或舍，
可得，即，，
又因为，即，
所以．
由可知：，且，
令，则时或时，
可得，
若函数在上有最小值，最大值，
可知的最小值，最大值，
令，解得；
令，解得或；
且与互为相反数，可知，
则或，解得或，
综上所述，或．

18.解：由题可知，
又，所以；
设为的中点，则，
又因为，所以，
因为三点共线，所以，所以；
由，，可得为等边三角形，
设的边长为，与周长分别为，则，
，所以，
所以，
由可得，当且仅当时等号成立，
解得，
所以，
所以和的周长之比的最小值为．

19.解：当时，，
可知的定义域为，且，
当时，；当时，当；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以的极小值为，无极大值．
由题意可得：的定义域为，
且，
设，可知在内有两个变号零点，
则，
当，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则的最小值为，
且当趋近于时，趋近于，
当时，则，可得，
可得，即当趋近于时，趋近于，
可得，解得，
所以实数的取值范围为；
由可知，，且，
所以，
设，则，
因为，则，可知内单调递减，
且，可得，
所以．

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